Wohlordnung der natürlichen Zahlen

Satz 1.2.19 (Minimum und Maximum)  

Es sei $n\in \mathbb{N}$. Jede nichtleere Teilmenge $M\subset \{ 1,\dots,n \}$ hat ein Minimum und ein Maximum.

Beweis (Minimum und Maximum).

Beweis durch Induktion nach $n\in \mathbb{N}$.

     $\emptyset \not= M \subset \{1\} \quad\Rightarrow\quad \min M = 1$

Wenn $M = \{ n+1 \}$ so ist $\min M = n+1$, anderenfalls ist

$$\min M = \min ( M \cap \{1,\dots,n\} )$$   .$$$$

Beweis durch Induktion nach $n\in \mathbb{N}$.

     $\emptyset \not= M \subset \{1\} \quad\Rightarrow\quad \max M = 1$

Wenn $n+1 \in M$ so ist $\max M = n+1$, anderenfalls ist

$$\max M = \max (M \cap \{1,\dots,n\} )$$   .$$$$

Satz 1.2.20 (Wohlordnung der natürlichen Zahlen)  

Jede nichtleere Teilmenge $M\subset\mathbb{N}$ hat ein Minimum.

Beweis (Wohlordnung der natürlichen Zahlen).

Es gibt ein $n_0\in M$. Dann hat nach Satz die Menge $M\cap \{1,\dots,n_0\}$ ein Minimum und es gilt:

$$\min M = \min(M\cap\{1,\dots,n_0\})$$.$$$$