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Wohlordnung der natürlichen Zahlen

Satz 1.2.19 (Minimum und Maximum)  

Es sei $ n\in \mathbb{N}$. Jede nichtleere Teilmenge $ M\subset \{ 1,\dots,n \} $ hat ein Minimum und ein Maximum.

Beweis (Minimum und Maximum).

\fbox{Minimum:}
Beweis durch Induktion nach $ n\in \mathbb{N}$.
\fbox{\( n=1 \):}
     $ \emptyset \not= M \subset \{1\} \quad\Rightarrow\quad \min M = 1 $
\fbox{\( n\Rightarrow n+1 \):}
Wenn $ M = \{ n+1 \} $ so ist $ \min M = n+1 $, anderenfalls ist

$\displaystyle \min M = \min ( M \cap \{1,\dots,n\} )$   .$\displaystyle $

\fbox{Maximum:}
Beweis durch Induktion nach $ n\in \mathbb{N}$.
\fbox{\( n=1 \):}
     $ \emptyset \not= M \subset \{1\} \quad\Rightarrow\quad \max M = 1 $
\fbox{\( n\Rightarrow n+1 \):}
Wenn $ n+1 \in M $ so ist $ \max M = n+1 $, anderenfalls ist

$\displaystyle \max M = \max (M \cap \{1,\dots,n\} )$   .$\displaystyle $

Satz 1.2.20 (Wohlordnung der natürlichen Zahlen)  

Jede nichtleere Teilmenge $ M\subset\mathbb{N}$ hat ein Minimum.

Beweis (Wohlordnung der natürlichen Zahlen).

Es gibt ein $ n_0\in M $. Dann hat nach Satz [*] die Menge $ M\cap \{1,\dots,n_0\} $ ein Minimum und es gilt:

$\displaystyle \min M = \min(M\cap\{1,\dots,n_0\})$.$\displaystyle $



Analysis1-A.Lambert 2001-02-09