Fakultät, Binomialkoeffizient

Beispiele 1.2.13 (Rekursive Definition der Fakultät)  

Man setze

$$0! := 1.$$

Für $n\in\mathbb{N}_0$ setze man

$$(n+1)! := n!\,(n+1).$$

Offensichtlich gilt für alle $n\in\mathbb{N}_0$:

$$n! = \prod_{k=1}^n k.$$

Satz 1.2.14 (Anzahl der Permutationen)  

Es ist $n!$ die Anzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) einer Menge aus $n$ Elementen.

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 15].

Definition 1.2.15   Es sei $n\in\mathbb{N}_0$. Für $k\in\{0,\dots,n\}$ bezeichnet der Binomialkoeffizient $\left( \begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)$ die Anzahl der möglichen Auswahlen von $k$ Elementen aus einer Menge mit $n$ Elementen.

Anmerkung: Es ist $\left( \begin{array}{c} n\\ 0\end{array}\right) := 1$.

Lemma 1.2.16   Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k \in\{0\ldots n+1\}$ gilt:

$$\left( \begin{array}{c} n+1\\ k\end{array}\right) = \left( \begi... ...\\ k\end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n\\ k-1\end{array}\right) .$$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 16].

Aus diesem Lemma erhalten wir das Pascalsche Dreieck:

n=0					1
n=1				1		1
n=2			1		2		1
n=3		1		3		3		1
n=4	1		4		6		4		1

Jede Zahl ist die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen.

Satz 1.2.17   Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ gilt

$$\left( \begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\ .$$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 15].

Satz 1.2.18 (Binomischer Satz)   Für $n\in \mathbb{N}$ und $x$, $y\in \mathbb{R}$ gilt:

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right) x^{n-k}y^k.$$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 17].

Anmerkung. Man vergleiche die ähnliche zweite binomische Formel ()