Abbildungsbegriff

Definition 1.3.1 (Anschauliche Definition: Abbildung)  

Es seien zwei Mengen $M$, $N$ gegeben. Unter einer Abbildung $f$ von $M$ nach $N$ verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Element $x \in M$ genau ein Element $y = f(x) \in N$ zuordnet.

Bemerkung 1.3.2 (zur Definition einer Abbildung)  

Hier wird der Begriff Abbildung durch den ebenfalls undefinierten Begriff Vorschrift erklärt. Wir werden unten (siehe ) den Abbildungsbegriff mit Hilfe der Mengenlehre präzisieren.

Bezeichnung 1.3.3 (Definitions-, Zielbereich)  

1. $M$ heißt der Definitionsbereich der Abbildung $f$. Wir bezeichnen den Definitionsbereich mit $D(f) := M$.
2. $N$ heißt der Zielbereich von $f$. Wir bezeichnen den Zielbereich mit $Z(f):=N$. Statt Zielbereich sagt man auch Wertevorrat von $f$. (vgl. die Anmerkung zu )
3. Wenn $y=f(x)$ ist, so heißt $y$ der Wert der Abbildung $f$ an der Stelle $x$ oder auch das Bild von $x$ unter der Abbildung $f$.
4. In dem Ausdruck $f(x)$ nennen wir $x$ das Argument der Abbildung $f$. Um zu betonen, daß in einer Aussage über $f(x)$ das Argument $x$ beliebig in $M$ gewählt werden darf, sprechen wir von der Variablen $x$.

Definition 1.3.4 (Gleichheit von Abbildungen)  

1. Das Symbol $f$ für eine Abbildung beinhaltet die Abbildungsvorschrift, den Definitionsbereich $D(f)$ und den Zielbereich $Z(f)$.
2. Zwei Abbildungen $f,g$ werden nur dann als gleich betrachtet, wenn sowohl ihre Definitionsbereiche als auch ihre Zielbereiche übereinstimmen:
   $$D(f) = D(g), \quad Z(f) = Z(g)$$
   und wenn für alle $x$ im Definitionsbereich die Werte übereinstimmen:
   $$f(x) = g(x).$$

Bezeichnung 1.3.5 (Abbildungen)  

1. Kurzschreibweisen um Namen, Definitionsbereich und Zielbereich einer Abbildung zu benennen:
   

   $$f: M \rightarrow N$$

   $$M \stackrel{f}{\rightarrow} N$$

   $$M \ni x \stackrel{f}{\mapsto} y \in N$$

   $$x \stackrel{f}{\mapsto} y$$

   
   
   Statt des Wertes $y$ kann auch eine Formel oder $y=\mathit{Formel}$ stehen.

   Man beachte die Form des Pfeiles in letzten beiden Zeilen!

2. Bei Angabe einer Formel vergibt man häufig kein Namenssymbol für die Funktion:
   $$M\ni x \mapsto \mathit{Formel}$$

3. Wenn eine Funktion $f$ innerhalb einer umfangreichen Formel vorkommt, schreibt man manchmal
   $$f(\cdot)\$$
   statt $f$. Man sieht dann leichter, wo die Variable einzusetzen ist. Es gilt $f(\cdot) := f$.
4. Die Klammern um das Argument können auch entfallen, wenn dadurch keine Mißverständnisse entstehen können. Beispiele:
   $$\log x$$, $$\sin x$$,    lineare Abbildung $$\Phi\,x$$.$$$$

Anmerkung: (unabhängige und abhängige Variable)

Wenn klar ist, welche Funktion gemeint ist, findet man in Physikbüchern die Kurzschreibweise $y = y(x)$. Man nennt $x$ die unabhängige Variable und $y$ die abhängige Variable.

Physikalische Größen werden mit einem feststehenden Buchstaben bezeichnet. Wenn eine Größe von einer anderen abhängt, wird ihr Buchstabe auch für das Abbildungssysmbol verwendet. Z.B.:

$$\begin{array}{ll} v & \mbox{Geschwindigkeit}\\ t & \mbox{Z... ...)&\mbox{Geschwindigkeit als Funktion der Zeit}\\ \end{array}$$

Beispiele 1.3.6 (identische und konstante Abbildung)  

a)

Für $N=M$ erklären wir die identische Abbildung:

$$\mathit{id}=\mathit{id}_M:M \rightarrow M$$

$$\mathit{id}_M(x) = x \mbox{f\uml ur $x\in M$} .$$

Anwendungsbeispiel:

$$f = \mathit{id}_M \quad\Leftrightarrow\quad f(x) = x$$   für alle $$x \in M.$$

Häufig läßt man bei der identischen Abbildung das Funktionssymbol weg und schreibt nur $x$.

b)

Für festes $c\in N$ wird eine konstante Abbildung

$$c:M \rightarrow N,$$

$$c(x) := c \mbox{f\uml ur $x\in M$}$$

definiert.

Das Zeichen $c$ steht also sowohl für das Element in N wie auch für den Namen der konstanten Funktion. Strenggenommen müßten wir hierfür unterschiedliche Symbole verwenden.

Beispiele 1.3.7 (Funktionen)  

Abbildungen in die Zahlen heißen auch Funktionen.

d)

Für $M=N:=\mathbb{R}$ und $a$, $b \in \mathbb{R}$ wird durch $f(x)=ax+b$, $x \in \mathbb{R}$, eine affine Funktion

$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$

definiert.

In Rechnungen spart man sich häufig den Funktionsnamen und spricht von der affinen Funktion $ax+b$, $x \in \mathbb{R}$.

e)

Es sei $n\in \mathbb{N}$ fixiert. Man definiert die Potenzfunktion zur Potenz $n$:

$$\mathbb{R}\ni x \mapsto x^n$$

e)

Es seien $c_0, \dots, c_n \in \mathbb{R}$. Man erklärt ein Polynom $P$ durch:

$$P : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

$$P(x) := \sum_{k=0}^n c_k x^k$$

Die Zahlen $c_0,\dots,c_n$ heißen die Koeffizienten des Polynoms.