Graphen

Definition 1.3.8 (Kartesisches Produkt)  

Für Mengen $M$, $N$ bezeichnet

$$M\times N:=\left\{ (x,y) \mid x\in M\mbox{, }y\in N\right\}$$

das kartesische Produkt von $M$ und $N$, d.h. die Menge aller geordneten Paare $(x,y)$ mit $x \in M$ und $y\in N$.

Der Name kartesisches Produkt erinnert an René Descartes (1596-1650), den Begründer der analytischen Geometrie.

Beispiel: $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ können wir durch eine Ebene veranschaulichen. Man zeichne in der Ebene zwei Koordinatenachsen. Jedem Punkt $P$ ist dann durch seine Koordinaten $x$ und $y$ auf den Achsen eindeutig bestimmt. Die Punkte der Ebenen entsprechen so eineindeutig den Koordinaten-Paaren $(x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

Bemerkung 1.3.9 (Graph einer Abbildung)  

Eine Abbildung $f:M\rightarrow N$ wird durch ihren Graphen

$$\Gamma(f) := \left\{ (x,y) \mid x\in M\mbox{, }y=f(x)\right\}$$

$$= \left\{ (x,f(x)) \mid x\in M\right\}\ \subseteq\ M\times N$$

eindeutig festgelegt. Dieser hat offensichtlich die Eigenschaft:

$$\forall x \in M\quad \exists_1 y \in N\quad :\quad (x,y)\in \Gamma (f).$$

In Worten: Für alle $x \in M$ gibt es genau ein $y\in N$, so daß $(x,y) \in \Gamma(f)$ ist.

Umgekehrt ist die Abbildung $f$ durch ihren Graphen eindeutig festgelegt:

$$y= f(x) \quad\Leftrightarrow\quad (x,y)\in\Gamma(f).$$

Anmerkung: Etwas präziser sollte man zuerst Graphen einführen und dann die Definition einer Abbildung nicht als Definition sondern Vereinbarung einer (praktischeren) Schreibweise betrachten.

Definition 1.3.10 (Graphen)  

Ein Graph $\Gamma$ mit Definitionsbereich $M$ und Zielbereich $N$ ist eine Teilmenge

$$\Gamma \subseteq M\times N,$$

für die gilt:

$$\forall x \in M\quad \exists_1 y \in N \ :\ (x,y)\in \Gamma.$$

Anmerkung: (alternative Definition von Abbildungen)

Es sei $\Gamma \subset M\times N$ ein Graph.

• Man vereinbart dann die Abbildungsbezeichnung $f= f_\Gamma : M \rightarrow N$ und erklärt:
  $$y = f(x): \quad\Leftrightarrow\quad (x,y) \in \Gamma.$$

• In dieser alternativen Definition sind eine Abbildung und ihr Graph dasselbe Objekt.
• Im folgenden wird die mehr intuitive Vorstellung von Abbildungen im Sinne der Definition beibehalten und die Graphen als die daraus abgeleiteten Objekte angesehen.