next up previous contents
Nächste Seite: Umkehrabbildung Aufwärts: Abbildungen Vorherige Seite: Abbildungsbegriff   Inhalt

Graphen

Definition 1.3.8 (Kartesisches Produkt)  

Für Mengen $ M$, $ N$ bezeichnet

$\displaystyle M\times N:=\left\{ (x,y) \mid x\in M\mbox{, }y\in N\right\}
$

das kartesische Produkt von $ M$ und $ N$, d.h. die Menge aller geordneten Paare $ (x,y)$ mit $ x \in M$ und $ y\in N$.

Der Name kartesisches Produkt erinnert an René Descartes (1596-1650), den Begründer der analytischen Geometrie.

Beispiel: $ \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ können wir durch eine Ebene veranschaulichen. Man zeichne in der Ebene zwei Koordinatenachsen. Jedem Punkt $ P$ ist dann durch seine Koordinaten $ x$ und $ y$ auf den Achsen eindeutig bestimmt. Die Punkte der Ebenen entsprechen so eineindeutig den Koordinaten-Paaren $ (x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

Bemerkung 1.3.9 (Graph einer Abbildung)  

Eine Abbildung $ f:M\rightarrow N$ wird durch ihren Graphen

$\displaystyle \Gamma(f)$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle \left\{ (x,y) \mid x\in M\mbox{, }y=f(x)\right\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{ (x,f(x)) \mid x\in M\right\}\ \subseteq\ M\times N$  

eindeutig festgelegt. Dieser hat offensichtlich die Eigenschaft:

$\displaystyle \forall x \in M\quad \exists_1 y \in N\quad :\quad (x,y)\in \Gamma (f).
$

In Worten: Für alle $ x \in M$ gibt es genau ein $ y\in N$, so daß $ (x,y) \in \Gamma(f)$ ist.

Umgekehrt ist die Abbildung $ f$ durch ihren Graphen eindeutig festgelegt:

$\displaystyle y= f(x) \quad\Leftrightarrow\quad (x,y)\in\Gamma(f).
$

Anmerkung: Etwas präziser sollte man zuerst Graphen einführen und dann die Definition [*] einer Abbildung nicht als Definition sondern Vereinbarung einer (praktischeren) Schreibweise betrachten.

Definition 1.3.10 (Graphen)  

Ein Graph $ \Gamma$ mit Definitionsbereich $ M$ und Zielbereich $ N$ ist eine Teilmenge

$\displaystyle \Gamma \subseteq M\times N,
$

für die gilt:

$\displaystyle \forall x \in M\quad \exists_1 y \in N \ :\ (x,y)\in \Gamma.
$

Anmerkung: (alternative Definition von Abbildungen)

Es sei $ \Gamma \subset M\times N $ ein Graph.


next up previous contents
Nächste Seite: Umkehrabbildung Aufwärts: Abbildungen Vorherige Seite: Abbildungsbegriff   Inhalt
Analysis1-A.Lambert 2001-02-09