Umkehrabbildung

Definition 1.3.11 (Bild und Urbild)   .

Es sei $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung.

1. Für $A\subseteq M$ erklären wir durch
   $$f(A):=\{f(x)\mid x\in A\}$$
   das Bild von A. Es ist $f(A) \subset Z(f)=N$.
2. Für $B\subseteq N$ erklären wir durch
   $$f^{-1}(B):=\{x \in M \mid f(x)\in B\}$$
   das Urbild von B. Es ist $f^{-1}(B) \subset D(f)= M$.

Anmerkung. Man unterscheide $\textrm{Bild}(f) :=f(M)$ und den Zielbereich $Z(f)$ einer Abbildung.

Definition 1.3.12 (injektiv, surjektiv,bijektiv)  

Eine Abbildung $f:M\rightarrow N$ heißt

1. injektiv, falls für alle $x,x' \in M$ gilt:
   $$f(x) = f(x') \quad\Rightarrow\quad x = x'.$$

2. surjektiv, falls es zu jedem $y\in N$ ein $x \in M$ so gibt, daß $y=f(x)$ ist.
3. bijektiv, falls $f$ injektiv und surjektiv ist.

Anmerkung: Für eine Abbildung $f:M\rightarrow N$ gilt:

$$f \$$   surjektiv$$\quad\Leftrightarrow\quad f(M) = N.$$

Feststellung 1.3.13 (bijektive Abbildungen)  

Es sei $f:M\rightarrow N$ . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. $f$ ist bijektiv
2. Zu jedem $y\in N$ gibt es genau ein $x \in M$, so daß $y=f(x)$ ist.

Man sagt, $x$ ist die eindeutige Lösung der Gleichung $f(x)=y$.

Definition 1.3.14 (Umkehrabbildung)  

Es sei $f:M\rightarrow N$ eine bijektive Abbildung. Die Umkehrabbildung

$$f^{-1} : N \rightarrow M$$

wird für alle $y\in N$ definiert durch:

$$f^{-1}(y) = x :\quad\Leftrightarrow\quad y = f(x)\ .$$