Komposition von Abbildungen

Wenn der Zielbereich einer Abbildung $f$ im Definitionsbereich einer weiteren Abbildung $g$ enthalten ist, können wir die beiden Abbildungen nacheinander ausführen:

Definition 1.3.15 (Komposition)  

Für Abbildungen $f:M\rightarrow N$, $g:N\rightarrow L$ definiert man die Komposition

$$g \circ f : M \rightarrow L$$

durch

$$(g \circ f)(x) :=g(f(x))$$

für alle $x \in M$.

Anmerkung

1. Sprich $g$ nach $f$ für die zusammengesetzte Abbildung $g \circ f$.
2. Statt Komposition sagt man auch Zusammensetzung, Hintereinanderausführung oder Verkettung.

3. Die Komposition bindet stärker als das Argument:
   $$g\circ f (x) = (g\circ f)(x)\ .$$
   Um Mißverständnisse zu vermeiden, sollte man die Klammern aber setzen.
4. In längeren Formeln schreibt man statt $g \circ f$ auch
   $$g(f)$$   oder$$\quad g(f(\cdot))\ .$$

5. Man kann die Komposition auch anschaulicher als Diagramm schreiben:
   $$M \stackrel{f}{\rightarrow} N \stackrel{g}{\rightarrow} L\ .$$

Beispiel.

Auch wenn $M=N$ ist, so ist im allgemeinen $g\circ f \not= f\circ g$. Z.B.:

$$\mathbb{R}\ni x \stackrel{f}{\mapsto} \vert x\vert$$

$$\mathbb{R}\ni x \stackrel{g}{\mapsto} -x.$$

Dann ist $(g\circ f)(x) = -\vert x\vert$ und $(f\circ g)(x) = \vert x\vert$.

Feststellung 1.3.16 (Assoziativgesetz der Komposition)   Für

$$f:M\rightarrow N,\quad g:N\rightarrow L,\quad h:L \rightarrow K$$

gilt

$$h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f\ .$$

Man kann also kurz $h\circ g\circ f$ schreiben.

Wir veranschaulichen das Resultat als kommutierendes Diagramm:

$$\begin{CD} M @>g\circ f>>L\\ @VfVV @VVhV\\ N @>>h\circ g> K \end{CD}$$

Feststellung 1.3.17 (Umkehrabbildung)  

Eine Abbildung

$$f:M\rightarrow N$$

ist genau dann bijektiv, wenn eine Abbildung

$$g:N\rightarrow M$$

so existiert, daß

$$g\circ f = \mathit{id}_M$$   und$$\quad f\circ g = \mathit{id}_N\ .$$

Dann ist $g = f^{-1}$.

Als kommutatives Diagramm sieht das so aus:

$$\begin{CD} M @= M\\ @VfVV @AAgA\\ N @= N \end{CD}$$