Endliche Mengen

Bemerkung 1.3.18 (Mengen $\{1,2,\dots,n\}$)  

1. Es seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $m<n$.

   a)

   Es gibt keine injektive Abbildung $\{ 1,\dots,n \} \rightarrow \{ 1,\dots,m \}$.

   b)

   Es gibt keine surjektive Abbildung $\{ 1,\dots,m \} \rightarrow \{ 1,\dots,n \}$.

2. Es sei $n\in \mathbb{N}$. Für jede Abbildung
   $$f :\{1,\dots,n\} \rightarrow \{1,\dots,n\}$$
   gilt:
   $$f \$$   injektiv$$\quad\Leftrightarrow\quad f \$$   surjektiv$$.$$

3. Eine bijektive Abbildung
   $$\sigma:\{1,2,\dots,n\} \rightarrow \{1,2,\dots,n \}.$$
   heißt eine Permutationen der Menge $\{1,2,\dots,n\}$.

Bemerkung 1.3.19  

Es sei $n\in \mathbb{N}$ und $M\subset \{ 1,\dots,n \}$ eine nichtleeren Teilmenge.

1. Es gibt es ein $m \in \mathbb{N}$, $m\leqslant n$, und eine bijektive Abbildung
   $$f: \{1,\dots,m\} \rightarrow M$$.$$$$

2. $M \not= \{ 1,\dots,n \} \quad\Leftrightarrow\quad m<n$.$$

Bemerkung 1.3.20 (endliche Mengen)  

1. Eine Menge $A$ heißt endlich, wenn es ein $n\in \mathbb{N}$ und eine surjektive Abbildung
   $$a: \{1,2,\dots,n\} \rightarrow A$$
   gibt oder $A = \emptyset$ ist.

   Man schreibt dann die Werte in der Form $a_k$, $k=1,2,\dots,n$, und kürzt den Sachverhalt folgendermaßen ab:
   

   $$A = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}$$

   $$= \{a_k \mid k = 1,2,\dots,n \}$$

   
   

2. Zu einer endlichen Menge $A$ gibt es immer eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ und eine bijektive Abbildung (Aufzählung)
   $$a: \{1,2,\dots,n\} \rightarrow A$$

   Die Zahl $n$ heißt die Anzahl der Elemente von $A$ oder die Mächtigkeit von $A$.

   Auf Grund von Bemerkung ist die Mächtigkeit einer endlichen Menge wohldefiniert.

3. Es kommt auf die Reihenfolge der Aufzählung nicht an.

   Hat man eine andere Aufzählung, so gibt es eine Permutation $\sigma$ von $\{1,2,\dots,n\}$, so daß die andere Aufzählung die Form

   $$k \mapsto a_{\sigma(k)}, \quad k=1,\dots n,$$
   hat:
   $$A = \{a_1,\dots,a_n\} = \{a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(n)}\}.$$

4. Auf Grund von Bemerkung ist eine Teilmenge $M$ einer endlichen Menge $A$ endlich.

   Wenn die Teilmenge $M \not= A$ ist, so ist die Mächtigkeit von $M$ kleiner als die Mächtigkeit von $A$.

5. Es sei $A$ eine endliche Menge und $f:A\rightarrow A$. Dann gilt:
   $$f \$$   injektiv$$\quad\Leftrightarrow\quad f \$$   surjektiv$$.$$

Feststellung 1.3.21 (Maximum endliche Menge)   Jede endliche Teilmenge $M \subset \mathbb{R}$ hat ein Maximum.

Beweis . Zum Begriff der endlichen Menge vgl. Bemerkung . Wir zeigen die folgende Behauptung durch vollständige Induktion:

Eine Teilmenge $M = \{x_1,\dots,x_n\} \subset \mathbb{N}$ mit $n$ Elementen, $n\in \mathbb{N}$, hat ein Maximum.

$M=\{x_1\}$ und $\max M = x_1$.

$M= \{x_1,\dots,x_n,x_{n+1}\} = \{x_1\dots,x_n\} \cup \{x_{n+1}\}$. Also ist

$$\max M = \max\{ \{x_1,\dots,x_n\},\,x_{n+1}\}.$$