Kartesisches Produkt

Wir verallgemeinern die Definition und erklären das Karthesische Produkt von endlich vielen Mengen:

Definition 1.3.22 (Kartesisches Produkt $\prod_{k=1}^n A_k$)  

Sind die Mengen $A_1,\ A_2, \dots, A_n$ nicht leere Mengen, dann heißt die Menge

$$A_1 \times \dots \times A_n := \left\{ (a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_k \in A_k,\ k=1,2,\dots,n \right\}$$

das kartesische Produkt der Mengen $A_1,\dots,A_n$.

Anmerkung:

1. Man erklärt das Produktzeichen für Mengen:
   $$\prod_{k=1}^n A_k :=A_1 \times \dots \times A_n.$$

2. Beim kartesischen Produkt kommt es auf die Reihenfolge der Faktoren an!
3. Die Elemente des kartesischen Produktes $A_1 \times \dots \times A_n$ heißen $n$-Tupel.
4. $(a_1,a_2)$ heißt ein Paar.

   $(a_1,a_2,a_3)$ heißt ein Tripel

   $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ heißt ein Quadrupel.

5. Man schreibt zu Abkürzung:
   $$(a_k)_{k=1}^n :=(a_1,\dots,a_n).$$

6. Sind alle $A_k$ gleich einer Menge $A$ so schreibt man
   $$A^n :=\prod_{k=1}^n A\ .$$

7. Auch in diesem Fall kommt es auf die Reihenfolge der Koeffizienten eines $n$-Tupels an. Beispiel: $A = \{0,1\}$:
   

   $$\{0,1\}^3 = \begin{array}[t]{l@{}l@{}l} \{& (0,0,0),\ (0,0,1)... ...\\ & (1,0,0),\ (1,0,1),\ (1,1,0),\ (1,1,1) & \}\ . \end{array}$$

   
   

Anmerkung: (Abbildungen mit $n$ Variablen)

Abbildungen von einem kartesischen Produktes $A_1 \times \dots \times A_n$ in eine Menge $M$ nennt man auch Abbildungen mit $n$ Variablen:

$$f: A_1: \times \dots\times A_n \rightarrow M$$

Beispiele sind die Projektionen auf die Kordinaten:

$$p_k : A_1: \times \dots\times A_n \rightarrow A_k,$$

$$p_k(a_1,\dots,a_n) := a_k,$$

für $k=1,\dots,n$. Man spricht auch kurz von den Kordinaten eines $n$-Tupels.

Verknüpfungen sind Abbildungen $A \times A \rightarrow A$

Die Addition ist eine Verküpfung:

$$+ : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

Bezeichnung 1.3.23 (Tupel von Abbildungen)  

Es seien $M$ eine Menge und $f_k : M \rightarrow A_k$, $k=1,\dots,n$, Abbildungen. Man definiert dann das $n$-Tupel:

$$f:=(f_1,\dots,f_n): M \rightarrow A_1\times \dots\times A_n,$$

$$(f_1,\dots,f_n)(x) := (f_1(x),\dots,f_n(x)).$$

Beispiel: Ein Punkt in der Ebene ist durch seine Koordinaten $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$ festgelegt. Eine zeitliche Bewegung eines Punktes in der Ebene beschreibt man durch zwei Funktionen

$$f_1: [0,T] \rightarrow \mathbb{R}$$

$$f_2: [0,T] \rightarrow \mathbb{R}\ .$$

Dabei sei $[0,T]$ ein Zeitintervall. Das Tupel

$$(f_1,f_2) : [0,T] \rightarrow \mathbb{R}^2$$

beschreibt den Weg des Punktes in der Ebene.

Bezeichnung 1.3.24 (kartesisches Produkt von Abbildungen)  

Es seien $g_k:A_k \rightarrow B_k$, $k=1,2,\dots,n$, Abbildungen. Man definiert das kartesische Produkt der Abbildungen:

$$g:=g_1 \times \dots\times g_n : A_1 \times \dots\times A_n \rightarrow B_1 \times \dots\times B_n,$$

$$( g_1 \times \dots\times g_n)(a_1,\dots,a_n) := (g_1(a_1),\dots,g_n(a_n)).$$

Beispiel: Ein Tupel von Abbildungen:

$$f:=(f_1,\dots,f_n): M \rightarrow A_1\times \dots\times A_n$$

Ein kartesisches Produkt von Abbildungen:

$$g:=g_1 \times \dots\times g_n : A_1 \times \dots\times A_n \rightarrow B_1 \times \dots\times B_n.$$

Die Komposition $g \circ f$ dieser Abbildungen ist dann:

$$g\circ f = (g_1\circ f_1,\dots,g_n\circ f_n): x \mapsto (g_1(f_1(x)),\dots,g_n(f_n(x))\,).$$