Bernoullische Ungleichung

Satz 1.5.1 (Bernoullische Ungleichung)   Es gilt

$$(1+x)^n\geq 1+nx$$    für $$x\geq -2$$ und $$n \in \mathbb{N}\ .$$

Jakob Bernoulli, 1654-1705.

Anmerkung: Zum Beweis unterscheide man die Fälle:

$-2 \leq x < -1$:

klar

$-1 \leq x$:

Vollständige Induktion.

Satz 1.5.2  

1. Für alle $q \in (0,1)$ existiert ein $C>0$ so, daß für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:
   $$q^n \leq \frac{C}{n}.$$

2. Für alle $q > 1$ existiert ein $C>0$ so, daß für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:
   $$q^n \geq Cn.$$

Hinweis: (1) Man schreibe

$$C :=\frac{q}{1-q} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{C}\ .$$

und benutze nun die Bernoullische Ungleichung.

Zur Abschätzung der Fakultäten $n!$ ist es naheliegend die Faktoren durch ihren ,,Mittelwert`` $\frac{n}{2}$ zu ersetzen.

Wir zeigen in den beiden folgenden Sätzen, daß für $n=1,2,\dots$

$$3\left( \frac{n}{3} \right)^n \leq n! \leq 2\left( \frac{n}{2} \right)^n$$

gilt.

Lemma 1.5.3   Für alle $n\in \mathbb{N}$ ist

$$2 \leq \left(1+\frac{1}{n} \right)^n .$$

Satz 1.5.4   Für $n\in \mathbb{N}$ gilt:

$$n!\leq 2\left(\frac{n}{2}\right)^n.$$

Beweis .

nachrechnen!

$${ (n+1)! = n!\,(n+1)}$$

$$\leq 2\left(\frac{n}{2}\right)^n (n+1)$$

$$= 2 \left(\frac{n+1}{2}\right)^n \left(\frac{n}{n+1}\right)^n (n+1)$$

$$= 2\left(\frac{n+1}{2}\right)^n \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\,(n+1)$$

$$\leq 2\left(\frac{n+1}{2} \right)^n \frac{1}{2}\, (n+1)$$

$$= 2\left(\frac{n+1}{2} \right)^{n+1}.$$

Lemma 1.5.5   Für alle $n\in \mathbb{N}$ ist

$$\left(1+\frac{1}{n} \right)^n < 3.$$

Beweis . Für $k=1,\dots,n$ ist

$$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} =\frac{1}{k!} \prod_{l=0}^{k-1} \frac{n-l}{n} \leq \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}.$$

Also

$${ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} }$$

$$\leq 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k-1}}$$

$$= 1 + \frac{ 1-(\frac{1}{2})^n } { 1-\frac{1}{2} } < 3.$$

Satz 1.5.6   Für alle $n\in \mathbb{N}$ ist

$$3\left(\frac{n}{3} \right)^n \leq n!$$

Beweis .

klar.

Die Ungleichung gelte für ein $n$, dann folgt:

$$(n+1)! = (n+1)\,n! \geq (n+1)\, 3\,\left( \frac{n}{3}\right)^n$$

$$\geq (n+1) \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \left( \frac{n}{3}\right)^n$$

$$= 3\, \frac{n+1}{3} \left(\frac{n+1}{n} \right) ^n \left(\frac{n}{3} \right)^n$$

$$= 3 \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n+1}$$