Approximation der Eulerschen Zahl

Diskrete Simulation eines Wachstumsprozesses.

Man hat die folgende Beobachtung eines realen Prozesses:

1. Für hinreichend kleine Zeitintervalle $[t_1,t_2]$ ist die zeitliche Entwicklung $a(t)$ eine lineare Funktion der Zeit:

   $$a(t) \approx a(t_1)(1+\alpha(t-t_1)) \mbox{f\uml ur $t\in[t_1,t_2]$} . \star$$

   
   

2. Die relative Änderung
   $$\alpha \approx \frac{1}{a(t_1)}\frac{a(t_2)-a(t_1)}{t_2-t_1}$$
   ist für alle hinreichend kleinen Zeitintervalle $[t_1,t_2]$ dieselbe. Die relative Änderung $\alpha$ ist also zeitlich konstant.
3. Für größere Zeitintervalle ist dagegen die beobachtete zeitliche Entwicklung nichtlinear.

Aufstellung eines diskreten mathematischen Modells zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung für einen größeren Zeitraum $[t_0,t]$. Der Wert $a(t_o)$ sei bekannt.

Man wähle eine $n\in \mathbb{N}$ und teile das Intervall $[t_0,t]$ in $n$ gleiche Teile. Für die Teilpunkte $t_k :=t_0+\frac{k(t-t_0)}{n}$, $k=1,2,\ldots n$, ergibt das Modell die Werte $a_k$. Zur Berechnung der $a_k$ wende man nacheinander auf die Teilintervalle die Näherungformel ($\star$) an.

Die $a_k$ kann man rekursiv berechnen. Für $k=1,2,\ldots,n$ gilt:

$$\qquad a_0 = a(t_0)$$

$$\qquad a_k :=\textstyle a_{k-1}\bigl(1+\frac{\alpha(t-t_0)}{n}\bigr)$$

Also ist für $k=0,1,2,\ldots n$:

$$\textstyle a_k = a_0\left(1+\frac{\alpha(t-t_0)}{n}\right)^k$$

Der Endwert $a_n$ approximiert den realen Wert $a(t)$.

Frage: Wie groß soll man das $n\in \mathbb{N}$ wählen und wie ändern sich die Endwerte $a_0(1+\frac{\alpha(t-t_0)}{n})^n$ mit $n$? Zur Vereinfachung betrachten wir vorerst den Fall $\alpha(t-t_0) =1$.

Wir untersuchen nun die Folge

$$e_n :=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$$

die bei kontinuierlichen Wachstumsprozessen eine Rolle spielt. Hilfreich bei der Untersuchung ist die Folge $e_n^* :=e_n(1+\frac{1}{n})$. Es ist $e_n < e_n^*$.

Satz 1.5.7  

1. Die Folge $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ist streng monoton wachsend.
2. Die Folge $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ ist streng monoton fallend.

Bemerkung 1.5.8 ( Intervallschachtelung $[(1+\frac{1}{n})^n,(1+\frac{1}{n})^{n+1}]$ )   Es gilt nun

$$2 =\textstyle (1+\frac{1}{1})^1 \leq \cdots \leq (1+\frac{1}{n})^n \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \leq \cdots$$

$$\textstyle \cdots \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}\leq (1+\frac{1}{n})^{n+1} \leq \cdots \leq (1+\frac{1}{1})^{1+1}=4$$

Wir haben also die folgenden Inklusionen von Intervallen:

$$\textstyle [(1+\frac{1}{1})^1,(1+\frac{1}{1})^{1+1}]\,\supseteq\, [(1+\frac{1}{2})^2,(1+\frac{1}{2})^{2+1}]\,\supseteq \cdots$$

$$\textstyle \ \cdots [(1+\frac{1}{n})^n,(1+\frac{1}{n})^{n+1}]\,\supseteq\, [(1+\frac{1}{n+1})^{n+1},(1+\frac{1}{n+1})^{n+2}]\,\supseteq \cdots$$

Für die Länge der Intervalle gilt (vgl.Lemma und ):

$$\textstyle \frac{2}{n} \leq \left\vert(1+\frac{1}{n})^{n+1}-(1+\frac{1}{n})^{n}\right\vert < \frac{3}{n}.$$

Anmerkung: (Intervallschachtelung für e)

Unsere Anschauung sagt uns, daß die Länge der Intervalle beliebig klein wird. Wenn man diese Begriff ,,beliebig klein werden`` präzisiert, sieht man, daß man dies nicht beweisen kann, sondern als ein Axiom der reellen Zahlen (siehe Archimedisches Axiom) fordern muß.

Wenn wir nun bereits wissen, daß die Intervalle beliebig klein werden, dann sollten sie sich auf einen Punkt zusammenziehen. Wir werden zeigen, daß dieser Punkt keine rationale Zahl sein kann.

Die Existenz einer reellen Zahl, die in allen diesen Intervallen liegt, werden wir später aus einem weiteren Axiom der reellen Zahlen (siehe Intervallschachtelungsprinzip) folgern.

Diese Zahl, die durch die im Satz angegebene Intervallschachtelung bestimmt wird, heißt die Eulersche Zahl $e$, nach Leonhard Euler (1707-1783)

Feststellung 1.5.9   Die Folge

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\quad (n \in \mathbb{N}_0)$$

ist streng monoton wachsend. Die Folge

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}+ \frac{1}{n\cdot n!}\quad (n \in \mathbb{N})$$

ist streng monoton fallend.

Vergleichen wir diese mit den vorhergehenden Folgen:

Satz 1.5.10  

$$\textnormal{a) } \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

$$\textnormal{b) } \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{1}{n\cdot n!} < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

Wir setzen zur Abkürzung

$$e_n :=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \qquad E_n :=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$

$$e_n^* :=e_n \left( 1+\frac{1}{n }\right) \qquad E_n^* :=E_n + \frac{1}{n\,n!}$$

Wir haben also eine Intervallschachtelung in der anderen:

$$e_n \leq E_n < E_n^* < e_n^*$$

Beweis (Satz ). (a)

$$e_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \ =\ \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}$$

$$= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \prod_{l=0}^{k-1}\frac{n-l}{n}$$

$$\leq 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\ =\ E_n.$$

(b) Für $n=1$ gilt $e_1^* = 3 < 4 = E_n^*$. Für $n=2,3,\dots$ gilt:

$$e_n^* - E_n^* =\ e_n \left( 1+\frac{1}{n} \right) - E_n - \frac{1}{n\,n!}$$

$$=\ \frac{1}{n} \left( e_n - \frac{1}{n!} \right) - \underbrace{\left( E_n - e_n \right)}$$
tex2html_deferredDa (siehe nächste Folie) tex2html_wrap_inline$ ( E_n - e_n) &le#leq;1n(E_n-1-12 )$ ist, folgt:

$$\geq \frac{1}{n} \left( e_n - \frac{1}{n!} \right) -\frac{1}{n} \left( E_{n-1}-\frac{1}{2} \right)$$

$$=\ \frac{1}{n} \left(e_n - E_{n-1}- \frac{1}{n!} + \frac{1}{2} \right)$$

$$=\ \frac{1}{n} \left(e_n - E_n + \frac{1}{2} \right)$$

$$>\ \frac{1}{n} \left(e_2 - E_2^* + \frac{1}{2} \right)\ = \ 0.$$

Hilfsbehauptung $(E_n -e_n) \leq \frac{1}{n}(E_{n-1}-\frac{1}{2})$ für $n=2,3,\dots$ :

$$E_n-e_n = \mbox{$\displaystyle \Bigl(2 + \frac{1}{2} + \sum_{k=3}^n\frac{1}... ...}{2}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr) + \sum_{k=3}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \Bigr)$}$$ (1)

$$= \frac{1}{2n} + \sum_{k=3}^n \frac{1}{k!} \Bigl(1 - \prod_{l=0}^{k-1} \bigl(1-\frac{l}{n}\bigr) \Bigr)$$ (2)

$$\leq \frac{1}{2n}+ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k!} \Bigl(1- \Bigl( 1- \frac{k-1}{n}\Bigr)^{k} \Bigr)$$ (3)

$$\leq \frac{1}{2n} + \sum_{k=3}^n \frac{1}{k!} \Bigl(1- \Bigl( 1-\frac{k(k-1)}{n} \Bigr) \Bigr)$$ (4)

$$= \frac{1}{n}\Bigl(\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n-2} \frac{1}{k!} \B... ...2} -\frac{1}{2}) \Bigr) \ \leq\ \frac{1}{n} \Bigl( E_{n-1} - \frac{1}{2} \Bigr)$$

Wir verwenden weiterhin die Abkürzungen:

$$E_n :=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$   und$$\quad E_n^* :=E_n + \frac{1}{n\,n!}.$$

Satz 1.5.11 (e nicht rational)  

Es gibt keine rationale Zahl, die in allen Intervallen $[E_n,E_n^*]$, $n\in \mathbb{N}$, liegt.

Anmerkung: Der Beweis wird etwas mehr zeigen:

Wenn $r=\frac{p}{q}$, $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$, dann ist

$$r \not\in [E_{q+1},E_{q+1}^*].$$

Beweis (e nicht rational).

Annahme: es gibt ein $r\in\mathbb{Q}$, so daß gilt:

$$E_n < r < E_n+ \frac{1}{n\, n!}$$   $$\mbox{f\uml ur alle $n\in\mathbb{N}$}$$$$.$$

Es sei $r=\frac{p}{q}$, $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$. Dann gilt:

$$q! r = (q-1)!p \in \mathbb{Z},$$

$$q! E_q = \sum_{k=0}^q \frac{q!}{k!} \in \mathbb{N},$$

$$q!r - q! E_q \in \mathbb{Z}.$$

Anderererseits ist nach Annahme:

$$q!E_q < q!r < q! E_q + \frac{1}{q} \quad\Rightarrow\quad 0< q!r - q!E_q < \frac{1}{q} \leq 1.$$

Widerspruch!