Vollständig geordneter Körper

Um in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ die Existenz der Zahl $e$, oder die Existenz der Wurzel aus einer positiven Zahl zu sichern, brauchen wir ein weiteres Axiom für $\mathbb{R}$, daß die Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ sichert:

Definition 2.2.6 (Intervallschachtelungsprinzip)  

(I)

Es sei $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Intervallschachtelung in $\mathbb{R}$. Dann existiert ein

$$c\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n$$   .$$$$

Bemerkung. Nach Lemma gibt es genau ein $c\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n$.

Anmerkung.

1. Ein geordneter Körper, der die Axiome A und I erfüllt, heißt vollständig geordneter Körper.
2. Man kann zeigen, daß es - bis auf Isomorphie - genau einen vollständig geordneten Körper gibt. Das sind die reellen Zahlen.
3. Der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der reellen Zahlen überfordert den Anfänger und ist für das weitere Vorgehen erstmal entbehrlich. Wir werden am Ende Semesters darauf eingehen.
4. Die Vorlesung Analysis I handelt davon, welche Folgerungen man aus den Axiomen eines vollständig geordneten Körpers ziehen kann.

5. Es gibt eine Reihe von äquivalenten Forderungen, um die Vollständigkeit eines geordneten Körpers zu beschreiben. Die Lehrbücher unterscheiden sich darin, welche der Forderungen sie als Axiom und welche als Folgerung wählen.
6. Andere übliche äquivalente Forderungen sind u.a.
   1. Cauchysches Konvergenzkriterium
   2. Supremums-Eigenschaft
   3. Dedekindsches Schnittaxiom
7. Wir werden das Cauchysche Konvergenzkriterium und die Supremumseigenschaft untersuchen.