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Bei der Definition der Konvergenz muß man den Grenzwert bereits kennen,
um die Konvergenzbedingung nachzuprüfen.
Das Cauchysche Konvergenzkriterium ermöglicht, die Konvergenz einer
Folge zu testen, deren Grenzwert noch nicht bekannt ist.
Definition 2.2.7
Eine Folge

in

heißt
Cauchy-Folge, wenn gilt:
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Bemerkung 2.2.8
Die Feststellungen
![[*]](crossref.png)
und
![[*]](crossref.png)
gelten sinngemäß auch für die Definition von Cauchy-Folgen.
Beispiel. Eine konvergente Folge
ist eine Cauchy-Folge:
Es sei
. Zu
gibt es ein
,
so daß
Aus der Dreiecksungleichung folgt:
Satz 2.2.9 (Cauchysches Konvergenzkriterium)
Eine Folge

in

ist genau dann konvergent, wenn sie eine
Cauchy-Folge ist.
Beweis .

- Diese Beweisrichtung haben wir im obigen Beispiel gezeigt.

- Es sei
eine Cauchy-Folge.
Wir wählen zu den Vergleichswerten
induktiv
passende
, so daß die Folge
streng monoton
wachsend ist und

- Wähle zu
ein passendes
.

- Es seien zu
bereits
passende
gefunden, so daß
und (
)
für
erfüllt ist.
Dann gibt es nach Voraussetung zu
ein
, so daß
und (
) für
gilt.
Man setze nun
.
Nach Konstruktion ist
Es ist
da (Zeichnung):
und folglich
.
Für die Längen der Intervalle gilt:
.
Nach dem Intervallschachtelungsprinzip
gibt es ein
.
Wenn
so sind
und folglich:
.
.
Bemerkung. Für die Konvergenz einer Folge reicht es nicht, daß die
Differenzen aufeinanderfolgender Glieder eine Nullfolge bilden:
- Für die harmonische Reihe
, (
)
gilt
aber
.
- Die Folge
aber
.
- Für die beschränkte Folge
bilden die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder eine Nullfolge.
Die Folge ist aber nicht konvergent.
Wenn die die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder einer Folge
kleiner sind als die Summanden einer konvergenten Reihe, so ist die Folge
eine Cauchyfolge.
Meistens vergleicht man mit der geometrischen Reihe:
Satz 2.2.10 (Vergleich mit geometrischer Reihe)
Wenn eine Folge
die folgende Bedingung erfüllt
,
dann ist sie konvergent.
Beweis . Die Folge ist eine Cauchyfolge.
Für
gilt
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09