Intervallschachtelungen

Bezeichnung 2.2.1   Ein Intervall $[a,b]$ mit Endpunkten $a,b \in \mathbb{R}$ heiße kurz ein kompaktes Intervall.

Statt kompaktes Intervall sagt man auch abgeschlossenes, beschränktes Intervall.

Bezeichnung 2.2.2   Eine Intervallschachtelung ist eine Folge $(I_n)_n$ kompakter Intervalle mit den Eigenschaften:

1. Für $n\in \mathbb{N}$ ist $I_{n+1} \subset I_n$.
2. Die Längen $\vert I_n\vert$ der Intervalle konvergieren gegen Null.

Lemma 2.2.3   Es sei $(I_n)_n$ eine Intervallschachtelung. Wenn $x,\tilde{x} \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n$, dann ist $x=\tilde{x}$.

Beispiel. Im Abschnitt haben wir die Intervallschachtelungen

$$[E_n,E_n^*] = \Bigl[\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\,\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}\Bigr]$$   für $n\in \mathbb{N}$$$$$

konstruiert. Offensichtlich ist die Länge (vgl )

$$\left\vert [E_n, E_n^*] \right\vert = \frac{1}{n\cdot n!} < \frac{1}{9}\bigl(\frac{3}{n}\bigr)^{n+1}.$$

Z. B. für $n= 10$ ist die Länge kleiner als $2\cdot10^{-7}$.

In Satz haben wir gesehen, daß es keine rationale Zahl gibt, die in allen Intervallen $[E_n,E_n^*]$, $({\scriptstyle n\in\mathbb{N}})$, liegt.

Wir werden die Existenz einer Zahl $e$, die in allen Intervallen $[E_n,E_n^*]$ liegt, aus einem weiteren Axiom () folgern.

Bemerkung 2.2.4 (Wurzel aus $2$ ist nicht rational)   |

Es gibt keine rationale Zahl $r\in\mathbb{Q}$ mit $r^2 = 2$.

Beweis . Es sei $$r = \frac{p}{q} > 0$$, $p,q \in \mathbb{N}$, so daß $p$ und $q$ keinen gemeinsamen Teiler haben. Aus

$$r^2 = \bigl(\frac{p}{q} \bigr)^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad p^2 = 2 q^2$$   .$$$$

Also ist $p^2$ eine gerade Zahl und somit muß auch $p$ gerade sein. Es gilt $p = 2 m$ mit einem $m \in \mathbb{N}$. Es folgt:

$$4m^2 = p^2 = 2 q^2 \quad\Rightarrow\quad 2 m^2 = q^2$$   .$$$$

Also ist auch $q$ eine gerade Zahl und $2$ ist ein gemeinsamer Teiler von $p$ und $q$. Widerspruch! Wir konstruieren eine Intervallschachtelung zur Bestimmung der Wurzel:

Approximation der
Nullstelle der
Parabel $y= x^2-a$.

Parabel ist konvex:

Tangente $\, \leqslant \;$Parabel $\, \leqslant \;$Sekante

$t_0$ Startpunkt mit $a < t_0^2$
$s_0$ Nullstelle der Sekante durch
    $(0,-a)$ und $(t_0,t_0^2-a)$
$t_1$ Nullstelle der Tangente in
     $(t_0,t_o^2)$
$s_1$ Nullstelle der Sekante durch
    $(0,-a)$ und $(t_1,t_1^2-a)$
Intervallschachtelung:
     $s_0 < s_1 <{\scriptstyle\cdots\sqrt{a}\scriptstyle\cdots} < t_1 <t_0$.

Beispiele 2.2.5 (Intervallschachtelung: Wurzel)  

Es sei $a \in \mathbb{R}$, $a>0$. Wir definieren rekursiv eine Folge $(t_n)_n$:

$$\quad t_0 \,\in\, (0,\infty)$$ Anfangswert:    beliebig

$$\quad t_{n+1} :=\frac{1}{2}\bigl(t_n + \frac{a}{t_n}\bigr) n=1,2,\dots$$ Rekursion:

Für $n\in \mathbb{N}$ gilt $t_n> 0$ und

$$t_n^2 - a = \frac{1}{4} \bigl( t_{n-1} - \frac{a}{t_{n-1}} \bigr)^2 \geqslant 0$$   .   ($\ast$)$$$$

Die Folge $(t_n)_{n=1}^\infty$ ist monoton fallend:

$$t_n -t_{n+1} = \frac{1}{2t_n}(t_n^2 - a) \geqslant 0$$           für $n=1,2,\dots$$$$$

Da die Folge $(t_n)_n$ monoton und beschränkt ist, folgt nach Korollar      $\lim\limits_{n\to\infty}(t_n-t_{n+1})=0$   .$$

Wir bilden eine zweite, monoton wachsende Folge $$s_n :=\frac{a}{t_n}$$, $({\scriptstyle n\in\mathbb{N}})$. Aus

$$t_n -s_n = 2(t_n-t_{n+1}) \geqslant 0$$

folgt für alle $n\in \mathbb{N}$:

$$s_n \leqslant t_n$$   und$$\qquad \lim\limits_{n\to\infty}(t_n -s_n)= 0.$$

Wir haben also eine Intervallschachtelung $[s_n,t_n]$, $({\scriptstyle n\in\mathbb{N}})$.

Diese Intervallschachtelung definiert die positive Wurzel aus $a$, denn es gilt:

$$x \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} [s_n,t_n] \quad\iff\quad x^2 = a$$   .$$$$

Für $n\in \mathbb{N}$ folgt aus $s_n \leqslant x \leqslant t_n$, daß:

$$s_n = \frac{1}{2}\Bigl( s_n +\frac{a}{t_n}\bigr) \leqslant \frac{... ...l(x+\frac{a}{x}\bigr) \leqslant \frac{1}{2}\bigl(t_n+\frac{a}{s_n}\bigr) = t_n$$   .$$$$

Nach Lemma ist

$$x= \frac{1}{2}\bigl(x+\frac{a}{x}\bigr) \quad\iff\quad x^2 = a$$   .$$$$

Es sei $0\leqslant x$ und $x^2 = a$. Für $n\in \mathbb{N}$ folgt aus ($\ast$):

$$0\leqslant t_n^2 -a = t_n^2 -x^2 \quad\Rightarrow\quad x \leqslant t_n$$   .$$$$

$$0 \leqslant \frac{a}{t_n^2}(t_n^2-a)= a - s_n^2 = x^2 -s_n^2 \quad\Rightarrow\quad s_n \leqslant x$$   .$$$$