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Bezeichnung 2.2.1
Ein Intervall
mit Endpunkten
heiße kurz ein
kompaktes Intervall.
Statt kompaktes Intervall sagt man auch abgeschlossenes, beschränktes
Intervall.
Bezeichnung 2.2.2
Eine
Intervallschachtelung ist eine Folge
kompakter Intervalle mit den Eigenschaften:
- Für
ist
.
- Die Längen der Intervalle konvergieren gegen Null.
Lemma 2.2.3
Es sei
eine Intervallschachtelung. Wenn
, dann ist
.
Beispiel. Im Abschnitt haben wir die
Intervallschachtelungen
konstruiert. Offensichtlich ist die Länge (vgl )
Z. B. für ist die Länge kleiner als
.
In Satz haben wir gesehen, daß es keine
rationale Zahl gibt, die in allen Intervallen
,
,
liegt.
Wir werden die Existenz einer Zahl , die in allen Intervallen
liegt, aus einem weiteren Axiom () folgern.
Bemerkung 2.2.4 (Wurzel aus
ist nicht rational)
|
Es gibt keine rationale Zahl
mit .
Beweis . Es sei
,
, so daß und
keinen gemeinsamen Teiler haben.
Aus
.
Also ist eine gerade Zahl und somit muß auch gerade sein.
Es gilt mit einem
.
Es folgt:
.
Also ist auch eine gerade Zahl und ist ein gemeinsamer Teiler
von und . Widerspruch!
Wir konstruieren eine Intervallschachtelung zur Bestimmung der Wurzel:
Beispiele 2.2.5 (Intervallschachtelung: Wurzel)
Es sei
, . Wir definieren rekursiv eine Folge :
|
Anfangswert: |
|
|
|
beliebig |
|
|
Rekursion: |
|
|
|
für
|
|
Für
gilt und
Die Folge
ist monoton fallend:
Da die Folge
monoton und beschränkt ist, folgt nach
Korollar
.
Wir bilden eine zweite, monoton wachsende Folge
,
.
Aus
folgt für alle
:
und
Wir haben also eine Intervallschachtelung
,
.
Diese Intervallschachtelung definiert die positive Wurzel aus , denn
es gilt:
.
- Für
folgt aus
, daß:
.
Nach Lemma
ist
.
- Es sei
und . Für
folgt
aus ():
.
.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09