next up previous contents
Nächste Seite: Vollständig geordneter Körper Aufwärts: Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorherige Seite: Vollständigkeit der reellen Zahlen   Inhalt

Intervallschachtelungen

Bezeichnung 2.2.1   Ein Intervall $ [a,b] $ mit Endpunkten $ a,b \in \mathbb{R}$ heiße kurz ein kompaktes Intervall.

Statt kompaktes Intervall sagt man auch abgeschlossenes, beschränktes Intervall.

Bezeichnung 2.2.2   Eine Intervallschachtelung ist eine Folge $ (I_n)_n $ kompakter Intervalle mit den Eigenschaften:
  1. Für $ n\in \mathbb{N}$ ist $ I_{n+1} \subset I_n $.
  2. Die Längen $ \vert I_n\vert $ der Intervalle konvergieren gegen Null.

Lemma 2.2.3   Es sei $ (I_n)_n $ eine Intervallschachtelung. Wenn $ x,\tilde{x} \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n $, dann ist $ x=\tilde{x} $.

Beispiel. Im Abschnitt [*] haben wir die Intervallschachtelungen

$\displaystyle [E_n,E_n^*] =
\Bigl[\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\,\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}\Bigr]$   für $ n\in \mathbb{N}$$\displaystyle $

konstruiert. Offensichtlich ist die Länge (vgl [*])

$\displaystyle \left\vert [E_n, E_n^*] \right\vert = \frac{1}{n\cdot n!} <
\frac{1}{9}\bigl(\frac{3}{n}\bigr)^{n+1}.
$

Z. B. für $ n= 10 $ ist die Länge kleiner als $ 2\cdot10^{-7} $.

In Satz [*] haben wir gesehen, daß es keine rationale Zahl gibt, die in allen Intervallen $ [E_n,E_n^*]$, $ ({\scriptstyle n\in\mathbb{N}}) $, liegt.

Wir werden die Existenz einer Zahl $ e$, die in allen Intervallen $ [E_n,E_n^*]$ liegt, aus einem weiteren Axiom ([*]) folgern.

Bemerkung 2.2.4 (Wurzel aus $ 2 $ ist nicht rational)   |

Es gibt keine rationale Zahl $ r\in\mathbb{Q}$ mit $ r^2 = 2 $.

Beweis . Es sei $ \displaystyle r = \frac{p}{q} > 0 $, $ p,q \in \mathbb{N}$, so daß $ p $ und $ q $ keinen gemeinsamen Teiler haben. Aus

$\displaystyle r^2 = \bigl(\frac{p}{q} \bigr)^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad p^2 = 2 q^2$   .$\displaystyle $

Also ist $ p^2 $ eine gerade Zahl und somit muß auch $ p $ gerade sein. Es gilt $ p = 2 m $ mit einem $ m \in \mathbb{N}$. Es folgt:

$\displaystyle 4m^2 = p^2 = 2 q^2 \quad\Rightarrow\quad 2 m^2 = q^2$   .$\displaystyle $

Also ist auch $ q $ eine gerade Zahl und $ 2 $ ist ein gemeinsamer Teiler von $ p $ und $ q $. Widerspruch! Wir konstruieren eine Intervallschachtelung zur Bestimmung der Wurzel:


\begin{picture}(200,300)(-70,-45)
% graphpaper(0,-100)(200,400)
\qbezier(0,-100)...
...te Gerade von (t_1,0) nach (t_1,t_1^2-a)
\put(-65,56){\(t_1^2-a\)}
\end{picture}


Approximation der
Nullstelle der
Parabel $ y= x^2-a $.


Parabel ist konvex:

Tangente $ \, \leqslant \;$Parabel $ \, \leqslant \;$Sekante
$ t_0 $ Startpunkt mit $ a < t_0^2 $
$ s_0 $ Nullstelle der Sekante durch
    $ (0,-a) $ und $ (t_0,t_0^2-a) $
$ t_1 $ Nullstelle der Tangente in
     $ (t_0,t_o^2) $
$ s_1 $ Nullstelle der Sekante durch
    $ (0,-a) $ und $ (t_1,t_1^2-a) $
Intervallschachtelung:
     $ s_0 < s_1 <{\scriptstyle\cdots\sqrt{a}\scriptstyle\cdots} < t_1 <t_0 $.

Beispiele 2.2.5 (Intervallschachtelung: Wurzel)  

Es sei $ a \in \mathbb{R}$, $ a>0 $. Wir definieren rekursiv eine Folge $ (t_n)_n $:

  Anfangswert: $\displaystyle \quad t_0$ $\displaystyle \,\in\, (0,\infty)$      beliebig    
  Rekursion: $\displaystyle \quad t_{n+1}$ $\displaystyle :=\frac{1}{2}\bigl(t_n + \frac{a}{t_n}\bigr)$      für $ n=1,2,\dots$    

Für $ n\in \mathbb{N}$ gilt $ t_n> 0 $ und

$\displaystyle t_n^2 - a = \frac{1}{4} \bigl( t_{n-1} - \frac{a}{t_{n-1}} \bigr)^2 \geqslant 0$   .   ($ \ast$)$\displaystyle $

Die Folge $ (t_n)_{n=1}^\infty $ ist monoton fallend:

$\displaystyle t_n -t_{n+1} = \frac{1}{2t_n}(t_n^2 - a) \geqslant 0$           für $ n=1,2,\dots$$\displaystyle $

Da die Folge $ (t_n)_n $ monoton und beschränkt ist, folgt nach Korollar [*]     $ \lim\limits_{n\to\infty}(t_n-t_{n+1})=0$   .$ $

Wir bilden eine zweite, monoton wachsende Folge $ \displaystyle s_n :=\frac{a}{t_n} $, $ ({\scriptstyle n\in\mathbb{N}}) $. Aus

$\displaystyle t_n -s_n = 2(t_n-t_{n+1}) \geqslant 0
$

folgt für alle $ n\in \mathbb{N}$:

$\displaystyle s_n \leqslant t_n$   und$\displaystyle \qquad \lim\limits_{n\to\infty}(t_n -s_n)= 0.
$

Wir haben also eine Intervallschachtelung $ [s_n,t_n] $, $ ({\scriptstyle n\in\mathbb{N}}) $.

Diese Intervallschachtelung definiert die positive Wurzel aus $ a$, denn es gilt:

$\displaystyle x \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} [s_n,t_n] \quad\iff\quad x^2 = a$   .$\displaystyle $

\fbox{\(\Rightarrow\):}
Für $ n\in \mathbb{N}$ folgt aus $ s_n \leqslant x \leqslant t_n $, daß:

$\displaystyle s_n = \frac{1}{2}\Bigl( s_n +\frac{a}{t_n}\bigr)
\leqslant \frac{...
...l(x+\frac{a}{x}\bigr)
\leqslant \frac{1}{2}\bigl(t_n+\frac{a}{s_n}\bigr) = t_n$   .$\displaystyle $

Nach Lemma [*] ist

$\displaystyle x= \frac{1}{2}\bigl(x+\frac{a}{x}\bigr) \quad\iff\quad x^2 = a$   .$\displaystyle $

\fbox{\(\Leftarrow\):}
Es sei $ 0\leqslant x $ und $ x^2 = a $. Für $ n\in \mathbb{N}$ folgt aus ($ \ast$):

$\displaystyle 0\leqslant t_n^2 -a = t_n^2 -x^2 \quad\Rightarrow\quad x \leqslant t_n$   .$\displaystyle $

$\displaystyle 0 \leqslant \frac{a}{t_n^2}(t_n^2-a)= a - s_n^2 = x^2 -s_n^2
\quad\Rightarrow\quad s_n \leqslant x$   .$\displaystyle $


next up previous contents
Nächste Seite: Vollständig geordneter Körper Aufwärts: Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorherige Seite: Vollständigkeit der reellen Zahlen   Inhalt
Analysis1-A.Lambert 2001-02-09