Körperaxiome

Die Menge $\mathbb{R}$ genügt den Körperaxiomen:

Definition 1.1.2 (Körperaxiome.)  

(K1)

Je zwei Elementen $a$, $b \in \mathbb{R}$ ist eindeutig ein Element $a+b \in \mathbb{R}$ zugeordnet, das Summe von $a$ und $b$ heißt.

(K2)

Für $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ gilt das Assoziativgesetz

$$(a+b)+c=a+(b+c).$$

(K3)

Es gibt ein Element $0 \in \mathbb{R}$, so daß für alle $a \in \mathbb{R}$ gilt

$$a+0=a.$$

(K4)

Zu $a \in \mathbb{R}$ gibt es $x \in \mathbb{R}$ mit $a+x=0$.

(K5)

Für $a$, $b \in \mathbb{R}$ gilt das Kommutativgesetz

$$a+b=b+a.$$

(K6)

Für $a$, $b \in \mathbb{R}$ ist eindeutig ein Element $ab \in \mathbb{R}$ zugeordnet, das Produkt von $a$ und $b$ heißt.

(K7)

Für $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ gilt das Assoziativgesetz

$$(ab)c=a(bc).$$

(K8)

Es gibt ein Element $1 \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, so daß für alle $a \in \mathbb{R}$ gilt

$$a1=a.$$

(K9)

Zu $a \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ gibt es $x \in \mathbb{R}$ mit $ax=1$.

(K10)

Für $a$, $b \in \mathbb{R}$ gilt das Kommutativgesetz

$$ab=ba.$$

(K11)

Für $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ gilt das Distributivgesetz

$$(a+b)c=ac+bc.$$

Eine Menge mit den Eigenschaften (K1) - (K11) heißt ein Körper.

Außer den reellen Zahlen gibt es noch viele weitere Körper, die zum Teil ganz andere Eigenschaften haben:

Beispiele 1.1.3  

1. Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Körper.
2. Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ bilden einen Körper. In $\mathbb{C}$ gibt es eine Zahl $i$ mit $i^2 = -1$.
3. Die Menge $\mathbb{Z}_2$ bestehend aus den zwei Elementen 0 und $1$ und den folgenden Verknüpfungen ist ein Körper:
      $$\mbox{ \begin{tabular}{c\vert cc} $+$&0 &1\\ \hline 0 &0 &1\\ 1 &1 &0 \end{tabular}\qquad }$$   $$\mbox{ \begin{tabular}{c\vert cc} $\cdot$&0 &1\\ \hline 0 &0 &0\\ 1 &0 &1 \end{tabular}}$$$$$$

   In $\mathbb{Z}_2$ gilt $1 = -1$.

Bemerkung 1.1.4  

1. Aus den Körperaxiomen folgen alle weiteren bekannten Rechenregeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Zahlen.
2. Die Lösung der Gleichung (K3) $a+x=0$ ist eindeutig. Wir nennen die Lösung den negativen Wert von $a$ und bezeichnen sie mit $-a$. Differenzen definieren wir wie üblich als $b-a := b+(-a)$.
3. Die Lösung der Gleichung (K9) $ax=1$ ist eindeutig. Wir nennen die Lösung den Kehrwert von $a$ und bezeichnen sie mit $\frac{1}{a}$. Brüche definieren wir wie üblich $\frac{b}{a} := b\frac{1}{a}$.
4. Wir benutzen die Potenzschreibweise $a ^n$ für das $n$-fache Produkt von $a$ mit sich, setzen $a^{-n} := \frac{1}{a^n}$ und verwenden die bekannten Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen. Insbesondere setzen wir $a^0 := 1$ für alle $a \in \mathbb{R}$.