Reelle Zahlen

Die folgenden Mengen von Zahlen werden als bekannt vorausgesetzt:

$\mathbb{N}$		=		$\{1,2,3,4,5\ldots\}$	natürliche Zahlen
$\mathbb{N}_0$		=		$\mathbb{N}\cup \{0\}$
$\mathbb{Z}$		=		$\{\ldots-2,-1,0,1,2\ldots\}$	ganze Zahlen
$\mathbb{Q}$		=		$\left\{\left. \quad\frac{p}{q}\quad\right\vert p \in\mathbb{Z}\mbox{, }q\in \mathbb{N}\right\}$	rationale Zahlen
$\mathbb{Q}_*$		=		$\left\{\left. \quad\frac{p}{q}\quad\right\vert p \in\mathbb{Z}\mbox{, }p\not=0 \mbox{, }q\in \mathbb{N}\right\}$	rationale Zahlen ungleich Null
$\mathbb{Q}^+$		=		$\left\{\left. \quad\frac{p}{q}\quad\right\vert p \in\mathbb{N}_0 \mbox{, }q\in \mathbb{N}\right\}$	nichtnegative rationale Zahlen
$\mathbb{Q}_*^+$		=		$\left\{\left. \quad\frac{p}{q}\quad\right\vert p \in\mathbb{N} \mbox{, }q\in \mathbb{N}\right\}$	positive rationale Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit $\mathbb{R}.$

Ziel 1.1.1   Wir werden die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ durch ihre Eigenschaften charakterisieren. Diese Eigenschaften lassen sich auf wenige Axiome zurückführen, die in die folgenden Gruppen unterteilt werden:

die Körperaxiome (K1)-(K11),

die Axiome (01)-(03) für die positiven Zahlen,

das archimedische Axiom (A),

das Intervallschachtelungsprinzip (I).

Die reellen Zahlen bilden das Fundament des Gebäudes Analysis, das wir bauen wollen. Für das Fundament geben wir nur die Anforderungen in Form der Axiome an und vertrauen vorerst den Konstrukteuren (Richard Dedekind 1872 und Georg Cantor 1883).