Geordnete Körper

Die Menge der positiven Zahlen kann wie folgt axiomatisch eingeführt werden:

Definition 1.1.5 (Geordneter Körper)  

(O1)

Es gibt eine Teilmenge $P\subseteq \mathbb{R}$, so daß für alle $a \in \mathbb{R}$ genau eine der folgenden drei Möglichkeiten zutrifft:

$$a=0$$,$$\quad a\in P$$,$$\quad -a\in P.$$

(O2)

$P$ ist abgeschlossen unter der Addition, d.h. für $a,b \in \mathbb{R}$ gilt $a+b \in P$.

(O3)

$P$ ist abgeschlossen unter der Multiplikation, d.h. für $a,b \in P$ gilt $ab \in P$.

Bezeichnung Wir werden später die Menge der positiven reellen Zahlen mit $\mathbb{R}_*^+$ bezeichnen oder als offenes Intervall $(0,\infty)$ schreiben.

Ein Körper, der die Ordnungsaxiome (O1) - (O3) erfüllt, heißt ein geordneter Körper.

Beispiele und Bemerkungen 1.1.6  

1. In einem geordneten Körper ist für alle $a\not=0$ das Quadrat $a^2 \in P$, speziell ist $1 \in P$. Die Körper $\mathbb{C}$ und $\mathbb{Z}_2$ sind also keine geordneten Körper.
2. Aus $a\in P$ folgt $\frac{1}{a} \in P$.
3. Es sei $n\in \mathbb{N}$. Mit $1 \in P$ ist auch die Summe von $n$ Einsen positiv. Jeder geordnete Körper enthält die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ und damit auch die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und deren Quotienten, die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.
4. $\mathbb{Z}\cap P = \mathbb{N}$
5. Eine rationale Zahl $\frac{p}{q}$ ist genau dann in $P$, wenn $p,q \in \mathbb{N}$. D.h. $P \cap \mathbb{Q}= \mathbb{Q}_*^+$.