Uneigentliche Grenzwerte

Beispiele 2.3.11   Wir betrachten die auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Inversion $$x \mapsto \frac{1}{x}$$ .

1. Für die Inversion $x \mapsto \frac{1}{x}$ existiert der Grenzwert im Punkte $0$ nicht.
2. Für Folgen $(x_n)$ in $(0,\infty)$ mit $x_n \rightarrow 0$ gilt $$\frac{1}{x_n} \rightarrow \infty$$.
3. Für Folgen $(x_n) \subseteq (-\infty,0)$ mit $x_n \rightarrow 0$ gilt $$\frac{1}{x_n} \rightarrow -\infty$$.
4. Strebt $x$ gegen $-\infty$ oder $\infty$ so strebt $$\frac{1}{x}$$ gegen 0.

   D.h. für jede Folge $(x_n)_n$ mit $x_n \rightarrow \infty$ oder $x_n \rightarrow -\infty$ gilt $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}=0$$.

Wir wollen also noch Grenzwerte für $x\to\pm \infty$ einführen und den Fall $f(x) \to \pm\infty$ betrachten.

Wir geben eine Definition des Grenzwertes auf offenen Intervallen, die diese Fälle und die vorangehenden umfaßt:

Definition 2.3.12 (Grenzwert einer Funktion)  

Gegeben seien:

ein nichtleeres, offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$ und ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $a$ konvergiert,

eine Funktion $f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$ und ein $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$.

Die Funktion $f$ strebt gegen $\ell$ für $x \rightarrow a$ , falls für jede Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ aus $x_n \rightarrow a$ stets $f(x_n)\rightarrow \ell$ folgt.

Bezeichnung. Wir schreiben für obige Definition:
$\lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell$ oder $f(x) \to \ell$ für $x \to a$.

Bemerkung. Diese Definition umfaßt die folgenden fünf Fälle

1. $a= -\infty$ und $I=(-\infty,b)$: Wir schreiben $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) :=\ell$
2. $a=\infty$ und $I=(b,\infty)$: Wir schreiben $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) :=\ell$.
3. $a \in \mathbb{R}$ und $I=(a,b)$: Wir schreiben $\lim\limits_{x \downarrow a} f(x) :=\ell$
   und nennen $\ell$ den rechtsseitigen Grenzwert.
4. $a \in \mathbb{R}$ und $I=(b,a)$: Wir schreiben $\lim\limits_{x \uparrow a} f(x) :=\ell$
   und nennen $\ell$ den linksseitigen Grenzwert.
5. $c<a<b$, $I=(c,b)$ und $f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$: Wir schreiben
   $$\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{\substack{x\to a\\ x\not= a}}f(x) :=\ell$$   .

Beispiele 2.3.13  

1. Für die Heaviside-Funktion ist $H(0^+)=1$ und $H(0^-)=0$.
2. Für die auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Inversion gilt

   $$\frac{1}{x}\rightarrow 0 x\rightarrow \pm\infty$$

   $$\frac{1}{x}\rightarrow \infty x\downarrow 0$$

   $$\frac{1}{x}\rightarrow -\infty x\uparrow 0$$

   
   

3. Für $n\in \mathbb{N}$ gilt $x^n \to \infty$ für $x \to \infty$.
4. Für $n\in \mathbb{N}$, $n$ gerade, gilt $x^n \to \infty$ für $x \to -\infty$.
5. Für $n\in \mathbb{N}$, $n$ ungerade, gilt $x^n \to -\infty$ für $x \to -\infty$.
6. $$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\to \infty$$ für $x\downarrow 0$.

Feststellung 2.3.14 ($K$-$\delta$ Definition für $f(x) \to\infty$)  

Gegeben seien:

ein nichtleeres, offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $a$ konvergiert, und eine Funktion $f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$. Also $D_f = I\setminus\{a\}$.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Die Funktion $f$ strebt gegen $\infty$ für $x \rightarrow a$.

2. Fall $a \in \mathbb{R}$:

   
   $\forall K>0 \,\exists\, \delta>0 \,\forall x\in D_f ~:~ \vert x-a\vert<\delta ~\Rightarrow~ f(x)>K$.

   Fall $a=\infty$:
   

   
   $\forall K>0 \,\exists L>0 \,\forall x\in D_f ~:~ x>L ~\Rightarrow~ f(x) > K$.

   Fall $a= -\infty$:

   
   $\forall K>0 \;\exists L>0 \,\forall x\in D_f ~:~ x<-L ~\Rightarrow~ f(x) >K$.

Beweis . Wir führen einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: Es gilt $f(x) \to\infty$ für $x \to a$ und 2.) gelte nicht.

Fall $a \in \mathbb{R}$:

Gilt 2.) nicht, so gibt es ein $K_0$, so daß zu $\delta_n = \frac{1}{n}$ ein $x_n \in D_f$ existiert mit $\vert x_n-a\vert < \delta_n$ und $f(x_n) \leqslant K_0$.

Die Folge $(x_n)_n$ konvergiert gegen $a$ und die Folge $(f(x_n))_n$ ist beschränkt.

Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty$.

Fall $a=\infty$:

Gilt 2.) nicht, so gibt es ein $K_0$, so daß zu $L_n = n$ ein $x_n \in D_f$ existiert mit $x_n \geqslant L_n$ und $f(x_n) \leqslant K_0$.

Die Folge $x_n\to\infty$ und die Folge $(f(x_n))_n$ ist beschränkt.

Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty$.

Fall $a= -\infty$:

der Widerspruch folgt analog.

Es sei $(x_n)_n$ eine Folge in $D_f$ mit $x_n\to a$.

Fall $a \in \mathbb{R}$:

zu $K>0$ wähle ein $\delta>0$ gemäß 2.). Es gibt ein $n_0\in\mathbb{N}$ mit $\vert x_n-a\vert< \delta$ für alle $n\geqslant n_0$. Für diese $n$ folgt dann $f(x_n) > K$. Also gilt $f(x_n) \to \infty$.

Fall $a=\infty$:

zu $K>0$ wähle ein $L > 0$ gemäß 2.). Es gibt ein $n_0\in\mathbb{N}$ mit $x_n > L$ für alle $n\geqslant n_0$. Für diese $n$ folgt dann $f(x_n) > K$. Also gilt $f(x_n) \to \infty$.

Fall $a= -\infty$:

Analog folgt $f(x_n)\to-\infty$.

Die Feststellungen gelten sinngemäß für die obigen Situationen.

Feststellung 2.3.15 (Uneigentliche Grenzwerte)  

Gegeben seien:

ein nichtleeres, offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $a$ konvergiert, und Funktionen $f$, $g:I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit Grenzwerten $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell_f \in \overline{\mathbb{R}}$,  $\lim\limits_{x\to a}g(x) = \ell_g \in \overline{\mathbb{R}}$.

1. Wenn $\ell_f \pm \ell_g$ in $\overline{\mathbb{R}}$ definiert ist, dann gilt
   $(f\pm g)(x) \to \ell_f \pm\ell_g$
2. Wenn $\ell_f \cdot \ell_g$ in $\overline{\mathbb{R}}$ definiert ist, dann gilt $(f\cdot g)(x) \to \ell_f \cdot\ell_g$
3. Wenn $$\frac{\ell_f}{\ell_g}$$ in $\overline{\mathbb{R}}$ definiert ist, dann gilt $$\Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)(x) \to \frac{\ell_f}{\ell_g}$$.