D.h. für jede Folge mit oder gilt .
Wir wollen also noch Grenzwerte für einführen und den Fall betrachten.
Wir geben eine Definition des Grenzwertes auf offenen Intervallen, die diese Fälle und die vorangehenden umfaßt:
Gegeben seien:
Die Funktion strebt gegen für , falls für jede Folge in aus stets folgt.
Bezeichnung.
Wir schreiben für obige Definition:
oder
für .
Bemerkung. Diese Definition umfaßt die folgenden fünf Fälle
für , | ||||
für , | ||||
für . |
Gegeben seien:
ein nichtleeres, offenes Intervall , ein , so daß es eine Folge in gibt, die gegen konvergiert, und eine Funktion . Also .
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
Beweis . Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
Annahme: Es gilt für und 2.) gelte nicht.
Die Folge konvergiert gegen und die Folge ist beschränkt.
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung .
Die Folge und die Folge ist beschränkt.
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung .
Es sei eine Folge in mit .
Die Feststellungen gelten sinngemäß für die obigen Situationen.
Gegeben seien:
ein nichtleeres, offenes Intervall , ein , so daß es eine Folge in gibt, die gegen konvergiert, und Funktionen , mit Grenzwerten , .