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Uneigentliche Grenzwerte

Beispiele 2.3.11   Wir betrachten die auf $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $ definierte Inversion $ \displaystyle x \mapsto \frac{1}{x} $ .
  1. Für die Inversion $ x \mapsto \frac{1}{x}$ existiert der Grenzwert im Punkte $ 0 $ nicht.
  2. Für Folgen $ (x_n)$ in $ (0,\infty)$ mit $ x_n \rightarrow 0$ gilt $ \displaystyle \frac{1}{x_n} \rightarrow \infty$.
  3. Für Folgen $ (x_n) \subseteq (-\infty,0)$ mit $ x_n \rightarrow 0$ gilt $ \displaystyle \frac{1}{x_n} \rightarrow -\infty$.
  4. Strebt $ x$ gegen $ -\infty$ oder $ \infty$ so strebt $ \displaystyle \frac{1}{x}$ gegen 0.

    D.h. für jede Folge $ (x_n)_n$ mit $ x_n \rightarrow \infty$ oder $ x_n \rightarrow -\infty$ gilt $ \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}=0$.

Wir wollen also noch Grenzwerte für $ x\to\pm \infty $ einführen und den Fall $ f(x) \to \pm\infty $ betrachten.

Wir geben eine Definition des Grenzwertes auf offenen Intervallen, die diese Fälle und die vorangehenden umfaßt:

Definition 2.3.12 (Grenzwert einer Funktion)  

Gegeben seien:

ein nichtleeres, offenes Intervall $ I\subseteq \mathbb{R}$ und ein $ a\in \overline{\mathbb{R}} $, so daß es eine Folge $ (x_n)_n$ in $ I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $ a$ konvergiert,
eine Funktion $ f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$ und ein $ \ell \in \overline{\mathbb{R}} $.

Die Funktion $ f$ strebt gegen $ \ell$ für $ x \rightarrow a$ , falls für jede Folge $ (x_n)_n$ in $ I\setminus \{a\}$ aus $ x_n \rightarrow a$ stets $ f(x_n)\rightarrow \ell$ folgt.

Bezeichnung. Wir schreiben für obige Definition:
$ \lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell
$ oder $ f(x) \to \ell $ für $ x \to a $.

Bemerkung. Diese Definition umfaßt die folgenden fünf Fälle

  1. $ a= -\infty$ und $ I=(-\infty,b)$: Wir schreiben $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) :=\ell $
  2. $ a=\infty$ und $ I=(b,\infty)$: Wir schreiben $ \lim\limits_{x\to\infty}f(x) :=\ell $.
  3. $ a \in \mathbb{R}$ und $ I=(a,b)$: Wir schreiben $ \lim\limits_{x \downarrow a} f(x) :=\ell $
    und nennen $ \ell$ den rechtsseitigen Grenzwert.
  4. $ a \in \mathbb{R}$ und $ I=(b,a)$: Wir schreiben $ \lim\limits_{x \uparrow a} f(x) :=\ell $
    und nennen $ \ell$ den linksseitigen Grenzwert.
  5. $ c<a<b $, $ I=(c,b) $ und $ f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$: Wir schreiben

    $\displaystyle \lim\limits_{x \to a} f(x)
= \lim\limits_{\substack{x\to a\\  x\not= a}}f(x) :=\ell$   .

Beispiele 2.3.13  
  1. Für die Heaviside-Funktion ist $ H(0^+)=1$ und $ H(0^-)=0$.
  2. Für die auf $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $ definierte Inversion gilt

      $\displaystyle \frac{1}{x}\rightarrow 0$       für $\displaystyle x\rightarrow \pm\infty$   ,    
      $\displaystyle \frac{1}{x}\rightarrow \infty$       für $\displaystyle x\downarrow 0$   ,    
      $\displaystyle \frac{1}{x}\rightarrow -\infty$       für $\displaystyle x\uparrow 0$   .    

  3. Für $ n\in \mathbb{N}$ gilt $ x^n \to \infty $ für $ x \to \infty $.
  4. Für $ n\in \mathbb{N}$, $ n$ gerade, gilt $ x^n \to \infty $ für $ x \to -\infty $.
  5. Für $ n\in \mathbb{N}$, $ n$ ungerade, gilt $ x^n \to -\infty $ für $ x \to -\infty $.
  6. $ \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\to \infty $ für $ x\downarrow 0 $.

Feststellung 2.3.14 ($ K $-$ \delta $ Definition für $ f(x) \to\infty $)  

Gegeben seien:

ein nichtleeres, offenes Intervall $ I\subseteq \mathbb{R}$, ein $ a\in \overline{\mathbb{R}} $, so daß es eine Folge $ (x_n)_n$ in $ I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $ a$ konvergiert, und eine Funktion $ f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$. Also $ D_f = I\setminus\{a\}$.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  1. Die Funktion $ f$ strebt gegen $ \infty$ für $ x \rightarrow a$.
  2. Fall $ a \in \mathbb{R}$:

    $ \forall K>0 \,\exists\, \delta>0 \,\forall x\in D_f ~:~ \vert x-a\vert<\delta ~\Rightarrow~ f(x)>K $.
    Fall $ a=\infty$:

    $ \forall K>0 \,\exists L>0 \,\forall x\in D_f ~:~ x>L ~\Rightarrow~ f(x) > K $.
    Fall $ a= -\infty$:

    $ \forall K>0 \;\exists L>0 \,\forall x\in D_f ~:~ x<-L ~\Rightarrow~ f(x) >K $.

Beweis . \fbox{1.\( \Rightarrow \)2.} Wir führen einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: Es gilt $ f(x) \to\infty $ für $ x \to a $ und 2.) gelte nicht.

Fall $ a \in \mathbb{R}$:
Gilt 2.) nicht, so gibt es ein $ K_0 $, so daß zu $ \delta_n = \frac{1}{n} $ ein $ x_n \in D_f $ existiert mit $ \vert x_n-a\vert < \delta_n $ und $ f(x_n) \leqslant K_0 $.

Die Folge $ (x_n)_n$ konvergiert gegen $ a$ und die Folge $ (f(x_n))_n $ ist beschränkt.

Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $ \lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty $.

Fall $ a=\infty$:
Gilt 2.) nicht, so gibt es ein $ K_0 $, so daß zu $ L_n = n $ ein $ x_n \in D_f $ existiert mit $ x_n \geqslant L_n $ und $ f(x_n) \leqslant K_0 $.

Die Folge $ x_n\to\infty $ und die Folge $ (f(x_n))_n $ ist beschränkt.

Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $ \lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty $.

Fall $ a= -\infty$:
der Widerspruch folgt analog.

\fbox{2.\( \Rightarrow \)1.} Es sei $ (x_n)_n$ eine Folge in $ D_f $ mit $ x_n\to a $.

Fall $ a \in \mathbb{R}$:
zu $ K>0 $ wähle ein $ \delta>0$ gemäß 2.). Es gibt ein $ n_0\in\mathbb{N}$ mit $ \vert x_n-a\vert< \delta $ für alle $ n\geqslant n_0$. Für diese $ n$ folgt dann $ f(x_n) > K $. Also gilt $ f(x_n) \to \infty $.
Fall $ a=\infty$:
zu $ K>0 $ wähle ein $ L > 0 $ gemäß 2.). Es gibt ein $ n_0\in\mathbb{N}$ mit $ x_n > L $ für alle $ n\geqslant n_0$. Für diese $ n$ folgt dann $ f(x_n) > K $. Also gilt $ f(x_n) \to \infty $.
Fall $ a= -\infty$:
Analog folgt $ f(x_n)\to-\infty $.

Die Feststellungen [*] gelten sinngemäß für die obigen Situationen.

Feststellung 2.3.15 (Uneigentliche Grenzwerte)  

Gegeben seien:

ein nichtleeres, offenes Intervall $ I\subseteq \mathbb{R}$, ein $ a\in \overline{\mathbb{R}} $, so daß es eine Folge $ (x_n)_n$ in $ I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $ a$ konvergiert, und Funktionen $ f$, $ g:I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit Grenzwerten $ \lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell_f \in \overline{\mathbb{R}} $ $ \lim\limits_{x\to a}g(x) = \ell_g \in \overline{\mathbb{R}} $.
  1. Wenn $ \ell_f \pm \ell_g $ in $ \overline{\mathbb{R}} $ definiert ist, dann gilt
    $ (f\pm g)(x) \to \ell_f \pm\ell_g $
  2. Wenn $ \ell_f \cdot \ell_g $ in $ \overline{\mathbb{R}} $ definiert ist, dann gilt $ (f\cdot g)(x) \to \ell_f \cdot\ell_g $
  3. Wenn $ \displaystyle \frac{\ell_f}{\ell_g} $ in $ \overline{\mathbb{R}} $ definiert ist, dann gilt $ \displaystyle \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)(x) \to \frac{\ell_f}{\ell_g} $.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09