Cauchykriterium

Aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Folgen erhält man das entsprechende Kriterium für Grenzwerte von Funktionen:

Satz 2.3.16 (Cauchysches Konvergenzkriterium)  

Gegeben sei ein nichtleeres, offenes Intervall $I$ mit rechtem Endpunkt $a \in \mathbb{R}$ und eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Es existiert Grenzwert $f(a^-)=\lim\limits_{x\uparrow a}f(x) \in \mathbb{R}$.
2. Für alle $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta>0$, so daß für alle $x$,  $y\in(a-\delta,a)\cap I$ stets  $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$ gilt.

   In Quantoren:

   $\forall \varepsilon >0$ $\exists \delta >0$ $\forall x$, $y\in(a-\delta,a)\cap I$ $:$ $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$.$$$$

Bemerkung.

1. Ein entsprechende Kriterien gilt für Grenzwerte in einem inneren Punkt $a\in I$:
   

   $${ \forall \varepsilon >0\,\exists\,\delta>0\, \forall x,y\in I\setminus\{a\}~:~}$$

   $$\vert x-a\vert<\delta \vert y-a\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$$

   
   

2. Im Fall $x \to \infty$ lautet das Cauchy-Kriterium:
   $\forall \varepsilon >0$ $\exists L >0$ $\forall x$, $y>L$ $:$ $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$.$$$$

Beweis .

Es sei $\lim\limits_{x\uparrow a} f(x) = \ell$. Nach Satz gibt es zu $\varepsilon >0$ ein $\delta>0$, so daß aus $x\in I \setminus \{a\}$, $\vert x-a\vert<\delta$ stets $\vert f(x)-\ell\vert<\varepsilon$ folgt. Also gilt für $x$, $y\in I\setminus \{a\}$ mit $\vert x-a\vert<\delta$, $\vert y-a\vert<\delta$

$$\vert f(x)-f(y)\vert < \vert f(x)-\ell\vert +\vert\ell-f(y)\vert< 2\varepsilon$$   .$$$$

Aus 2.) folgt, daß für jede Folge $(x_n)_n$ in $I$ mit Grenzwert $a$ die Folge $(f(x_n))_n$ eine Cauchy-Folge ist und folglich konvergiert. Nach dem Reißverschlußprinzip haben alle diese Folgen den gleichen Grenzwert. Also exisitiert $\lim\limits_{x\uparrow a}f(x)$.

Bemerkung 2.3.17 (Reißverschlußprinzip)  

Wenn $x_n\to a$ und $y_n\to a$, dann konvergiert auch die Folge $x_1,y_1,x_2,y_2, \dots$ gegen $a$. Wenn $\bigl(f(x_n)\bigr)_n$ und $\bigl(f(y_n)\bigr)_n$ konvergieren, so konvergiert auch die Folge

$$f(x_1),f(y_1),f(x_2),f(y_2),\dots$$

Somit haben die Folgen $\bigl(f(x_n)\bigr)_n$ und $\bigl(f(y_n)\bigr)_n$ den gleichen Grenzwert.

Satz 2.3.18   Es seien $I\subseteq \mathbb{R}$ ein nichtleeres, offenes Intervall mit rechtem Endpunkt $b$ und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ monoton wachsend und beschränkt. Dann existiert $f(b^-)=\lim\limits_{x\uparrow b}f(x)$ in $\mathbb{R}$.

Beweis . Annahme: die Cauchy-Bedingung ist nicht erfüllt.

Dann gibt es ein $\varepsilon _0 > 0$, so daß es zu jedem $\delta>0$ zwei Punkte $x$, $y \in I$ gibt mit $x$, $y \in (b-\delta,b)$ und $\vert f(x)-f(y)\vert> \varepsilon _0$.

Zu den Werten $\delta_n = \frac{1}{n}$ bilde man induktiv zwei Folgen $(x_n)_n$, $(y_n)_n$, so daß $x_n < y_n < x_{n+1} < y_{n+1}$ und

$$0 < \varepsilon _0 \leqslant f(y_{n} -f(x_n)$$       für $n=1,2,\dots$$$$$

Dann folgt $f(y_{n+1}) -f(y_1)$

$$= \sum_{k=1}^n \bigl(f(y_{k+1} - f(x_{k+1}) + f(x_{k+1})-f(y_k)\bigr) \geqslant n\varepsilon _0$$   .$$$$

Die Folge $(f(y_n))_n$ ist also unbeschränkt. Widerspruch.

Korollar 2.3.19   Es seien $I\subseteq \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ monoton.

1. Dann existieren die einseitigen Grenzwerte $f(c^-)$, $f(c^+) \in \mathbb{R}$ für alle $c\in I$.
2. Wenn $I=(a,b)$, $a$, $b \in \overline{\mathbb{R}}$, dann existieren die Grenzwerte
   $$\lim\limits_{x\downarrow a}f(x)$$       und    $$\lim\limits_{x\uparrow b} f(x)$$    in $$\overline{\mathbb{R}}$$   .$$$$

Bemerkung Wenn $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ monoton wachsend ist, so gilt:

$$f \$$    nach oben unbeschränkt $$\quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\uparrow b}=\infty$$   .$$$$