Komposition von Grenzwerten

Lemma 2.3.20 (Komposition von Grenzwerten)  

Gegeben seien:

(i)

nichtleere, offene Intervalle $I$, $J\subseteq \mathbb{R}$,

(ii)

ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $a$ konvergiert,

(iii)

eine Funktion $f:I\setminus\{a\} \rightarrow J \setminus \{\ell_f\}$ mit Grenzwert $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell_f \in \overline{\mathbb{R}}$

(iv)

eine Funktion $g: J\setminus\{\ell_f\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit Grenzwert $\lim\limits_{y\to \ell_f}g(y) = \ell_g \in \overline{\mathbb{R}}$.

Dann gilt $\lim\limits_{x\to a}(g\circ f) (x) = \ell_g$.

Der Beweis des Lemmas ist offensichtlich.

Wenn $f: I\setminus \{a\} \rightarrow J$, so muß man eine stärkere Forderung an die Funktion $g$ stellen: (Man zeichne ein Bild!)

Lemma 2.3.21 ( $g(\lim f) = \lim (g\circ f)$)  

Gegeben seien:

(i)

nichtleere, offene Intervalle $I$, $J\subseteq \mathbb{R}$,

(ii)

ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $a$ konvergiert,

(iii)

eine Funktion $f: I\setminus \{a\} \rightarrow J$ mit Grenzwert $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell_f \in \mathbb{R}$

(iv)

eine Funktion $g: J \rightarrow \mathbb{R}$ mit Grenzwert $\lim\limits_{\substack{y\to \ell_f\\ y\not=\ell_f}}g(y) = g(\ell_f)$.

Dann gilt $\lim\limits_{x\to a}(g\circ f) (x) = g(\ell_f)$.

Beweis . Zu $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta>0$, so daß für alle $y\in J\setminus\{\ell_f\}$ gilt:

$$\vert y-\ell_f\vert < \delta \quad\Rightarrow\quad \vert g(y)-g(\ell_f)\vert < \varepsilon$$   .$$$$

Für $y=\ell_f$ gilt offensichtlich $\vert g(y)-g(\ell_f)\vert<\varepsilon$.

Also gilt für jede Folge $(y_n)_n$ in $J$:

$$y_n\to \ell_f \quad\Rightarrow\quad g(y_n) \to g(\ell_f)$$

Dann gilt aber für jede Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$:

$$x_n \to a \quad\Rightarrow\quad g(f(x_n)) \to g(\ell_f)$$.$$$$

D.h.

$$\lim\limits_{x\to a} (g\circ f)(x) = g(\ell_f)$$   .$$$$

Bemerkung. Eine Funktion, die die Bedingung (iv) des Lemmas erfült, wird stetig im Punkte $\ell_f$ genannt.