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Stetige Funktionen

Funktionen deren Grenzwerte in einem Punkt stets mit den Funktionswerten in diesem Punkt übereinstimmen, sind in der Analysis von besonderer Bedeutung.

Definition 2.3.22   Sei $ I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall.
  1. Eine Funktion $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt stetig in einem Punkt $ \mathbf{a}\in I$, falls $ f(a)$ der Limes von $ f$ in $ a$ bezüglich $ I $ ist.
  2. Eine Funktion $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt stetig (auf I), falls $ f$ in jedem Punkt von $ I $ stetig ist.

Bemerkung.

  1. Für ein offenes Intervall $ I $ heißt $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$
    rechtsseitig stetig in $ a\in I$, falls $ f(a^+)=f(a)$ gilt.
    linksseitig stetig in $ a\in I$, falls $ f(a^-)=f(a)$ gilt.
  2. Die Stetigkeit einer Funktion kann von der Wahl des Definitionsbereichs abhängen. So gilt für die Einschränkungen Heaviside-Funktion
    1. $ H:(-\infty,0)\rightarrow \mathbb{R}$ und $ H:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ sind stetig.
    2. $ H:(-\infty,0]\rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht stetig.
    3. $ H:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$ ist in 0 rechtseitig stetig.
  3. Für Intervalle $ J\subseteq I$ nennt man eine Funktion $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig auf $ \mathbf{J}$, wenn ihre Einschränkung $ f\left\vert _J\right.:J\rightarrow \mathbb{R}$ stetig ist. In diesem Sinne ist die Heaviside-Funktion $ H:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ stetig auf $ J=[0,1]$.

Feststellung 2.3.23   Gegeben seien ein Intervall $ I\subseteq \mathbb{R}$ , ein Punkt $ a\in I$ und eine Funktion $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

  1. Die Funktion $ f$ ist stetig im Punkt $ a$.
  2. Für jede Folge $ (x_n)$ in $ I $ gilt: Aus $ x_n \rightarrow a$ folgt $ f(x_n) \rightarrow f(a)$.
  3. Für alle $ \varepsilon >0$ gibt es ein $ \;\delta > 0$, so daß für alle $ x \in I$ aus $ \vert x-a\vert<\delta$ stets $ \vert f(x)-f(a)\vert<\varepsilon$ folgt.

    In Quantoren:

    $\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \,\exists\, \delta > 0 \,\forall x \in I~:~
\vert x-a\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(a)\vert<\varepsilon$.

Bemerkung. Damit kann für in $ a$ stetige Funktionen der Funktionswert $ f(a)$ mit Hilfe von Werten $ f(x)$, mit $ x$ nahe an $ a$, angenähert werden. Die $ \varepsilon$-$ \delta $ Beziehung gibt Auskunft über die Güte dieser Approximation.

Feststellung 2.3.24 (Rechenregeln: stetige Funktionen)   Es seien $ I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $ f,g:I\rightarrow \mathbb{R}$ in $ a\in I$ stetig und $ \lambda\in\mathbb{R}$. Dann sind auch auch die folgenden Funktionen in $ a$ stetig:

$\displaystyle \max(f,g)$   ,    $\displaystyle f+g$   ,    $\displaystyle \lambda f$   ,    $\displaystyle f\cdot g
$

und, wenn $ g(a)\neq 0$,

$\displaystyle \displaystyle \frac{f}{g}$ .$\displaystyle $

Bemerkung. Der Quotient $ \frac{f}{g}$ ist stetig auf der Menge $ \{ x\in I \vert\mid g(x)\not= 0 \} $.

Satz 2.3.25 (Komposition stetiger Funktionen)   Es seien $ I,J \subseteq \mathbb{R}$ Intervalle und $ f,g$ Funktionen mit:

$\displaystyle I \stackrel{f}{\rightarrow} J \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R}$

Wenn $ f$ stetig in $ a\in I$ und $ g $ stetig in $ f(a)\in J $, dann ist $ g \circ f $ stetig in $ a$.

Beispiele 2.3.26  
  1. Für $ k\in\mathbb{N}$ ist $ p_k:x\mapsto x^k $ stetig auf $ \mathbb{R}$.
  2. Für $ q\in\mathbb{N}$ ist nach Feststellung [*]  $ \sqrt[\uproot{2}q]{\rule{0pt}{1ex}~} : x \mapsto \sqrt[\uproot{2}q]{x} $ stetig auf $ [0,\infty)$.
  3. Für $ k,q\in \mathbb{N}$ ist $ x \mapsto x^{\frac{k}{q}} $ stetig auf $ [0,\infty)$.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09