Stetige Funktionen

Funktionen deren Grenzwerte in einem Punkt stets mit den Funktionswerten in diesem Punkt übereinstimmen, sind in der Analysis von besonderer Bedeutung.

Definition 2.3.22   Sei $I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall.

1. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt stetig in einem Punkt $\mathbf{a}\in I$, falls $f(a)$ der Limes von $f$ in $a$ bezüglich $I$ ist.
2. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt stetig (auf I), falls $f$ in jedem Punkt von $I$ stetig ist.

Bemerkung.

1. Für ein offenes Intervall $I$ heißt $f:I \rightarrow \mathbb{R}$

   rechtsseitig stetig in $a\in I$, falls $f(a^+)=f(a)$ gilt.

   linksseitig stetig in $a\in I$, falls $f(a^-)=f(a)$ gilt.

2. Die Stetigkeit einer Funktion kann von der Wahl des Definitionsbereichs abhängen. So gilt für die Einschränkungen Heaviside-Funktion
   1. $H:(-\infty,0)\rightarrow \mathbb{R}$ und $H:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ sind stetig.
   2. $H:(-\infty,0]\rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht stetig.
   3. $H:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$ ist in 0 rechtseitig stetig.
3. Für Intervalle $J\subseteq I$ nennt man eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig auf $\mathbf{J}$, wenn ihre Einschränkung $f\left\vert _J\right.:J\rightarrow \mathbb{R}$ stetig ist. In diesem Sinne ist die Heaviside-Funktion $H:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ stetig auf $J=[0,1]$.

Feststellung 2.3.23   Gegeben seien ein Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$ , ein Punkt $a\in I$ und eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

1. Die Funktion $f$ ist stetig im Punkt $a$.
2. Für jede Folge $(x_n)$ in $I$ gilt: Aus $x_n \rightarrow a$ folgt $f(x_n) \rightarrow f(a)$.
3. Für alle $\varepsilon >0$ gibt es ein $\;\delta > 0$, so daß für alle $x \in I$ aus $\vert x-a\vert<\delta$ stets $\vert f(x)-f(a)\vert<\varepsilon$ folgt.

   In Quantoren:

   $$\forall \varepsilon > 0 \,\exists\, \delta > 0 \,\forall x \in I~:~ \vert x-a\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(a)\vert<\varepsilon$$.

Bemerkung. Damit kann für in $a$ stetige Funktionen der Funktionswert $f(a)$ mit Hilfe von Werten $f(x)$, mit $x$ nahe an $a$, angenähert werden. Die $\varepsilon$-$\delta$ Beziehung gibt Auskunft über die Güte dieser Approximation.

Feststellung 2.3.24 (Rechenregeln: stetige Funktionen)   Es seien $I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $f,g:I\rightarrow \mathbb{R}$ in $a\in I$ stetig und $\lambda\in\mathbb{R}$. Dann sind auch auch die folgenden Funktionen in $a$ stetig:

$$\max(f,g)$$   ,    $$f+g$$   ,    $$\lambda f$$   ,    $$f\cdot g$$

und, wenn $g(a)\neq 0$,

$$\displaystyle \frac{f}{g}$$ .$$$$

Bemerkung. Der Quotient $\frac{f}{g}$ ist stetig auf der Menge $\{ x\in I \vert\mid g(x)\not= 0 \}$.

Satz 2.3.25 (Komposition stetiger Funktionen)   Es seien $I,J \subseteq \mathbb{R}$ Intervalle und $f,g$ Funktionen mit:

$$I \stackrel{f}{\rightarrow} J \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R}$$

Wenn $f$ stetig in $a\in I$ und $g$ stetig in $f(a)\in J$, dann ist $g \circ f$ stetig in $a$.

Beispiele 2.3.26  

1. Für $k\in\mathbb{N}$ ist $p_k:x\mapsto x^k$ stetig auf $\mathbb{R}$.
2. Für $q\in\mathbb{N}$ ist nach Feststellung   $\sqrt[\uproot{2}q]{\rule{0pt}{1ex}~} : x \mapsto \sqrt[\uproot{2}q]{x}$ stetig auf $[0,\infty)$.
3. Für $k,q\in \mathbb{N}$ ist $x \mapsto x^{\frac{k}{q}}$ stetig auf $[0,\infty)$.