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Funktionen deren Grenzwerte in einem Punkt stets mit den Funktionswerten
in diesem Punkt übereinstimmen, sind in der Analysis von besonderer
Bedeutung.
Bemerkung.
- Für ein offenes Intervall heißt
- rechtsseitig stetig in ,
falls
gilt.
- linksseitig stetig in ,
falls
gilt.
- Die Stetigkeit einer Funktion kann von der Wahl des
Definitionsbereichs abhängen.
So gilt für die Einschränkungen Heaviside-Funktion
-
und
sind stetig.
-
ist nicht stetig.
-
ist in 0 rechtseitig stetig.
- Für Intervalle
nennt man eine Funktion
stetig auf
, wenn ihre Einschränkung
stetig ist.
In diesem Sinne ist die Heaviside-Funktion
stetig auf .
Bemerkung. Damit kann für in stetige Funktionen der Funktionswert
mit Hilfe von Werten , mit nahe an , angenähert werden.
Die
- Beziehung gibt Auskunft über die Güte
dieser Approximation.
Feststellung 2.3.24 (Rechenregeln: stetige Funktionen)
Es seien
ein Intervall und
in
stetig und
.
Dann sind auch auch die folgenden Funktionen in
stetig:
und, wenn
,
.
Bemerkung. Der Quotient
ist stetig auf der Menge
.
Satz 2.3.25 (Komposition stetiger Funktionen)
Es seien
Intervalle und
Funktionen mit:
Wenn
stetig in
und
stetig in
,
dann ist
stetig in
.
Beispiele 2.3.26
- Für
ist
stetig auf
.
- Für
ist nach Feststellung
stetig auf
.
- Für
ist
stetig auf
.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09