next up previous contents
Nächste Seite: Zwischenwertsatz Aufwärts: Supremum und Zwischenwertsatz Vorherige Seite: Supremum   Inhalt

Uneigentliche Suprema

Für nach oben unbeschränkte Mengen führen wir ein uneigentliches Supremum in $ \overline{\mathbb{R}} $ ein.

Man kann dann gewisse Sachverhalte statt in Worten kurz in Formeln ausdrücken und kann mit diesen uneigentlichen Suprema auch rechnen (vgl. [*]).

Bezeichnung 2.5.9 ( $ \sup M = \infty $)  

Es sei $ M \subset \mathbb{R}$ nicht leer.

  1. Wenn $ M$ nach oben unbeschränkt ist, setzen wir

    $\displaystyle \sup M :=\infty$.$\displaystyle $

  2. Wenn $ M$ nach unten unbeschränkt ist, setzen wir

    $\displaystyle \inf M :=-\infty$   .$\displaystyle $

Beispiele 2.5.10 ( $ \sup M \in \overline{\mathbb{R}} $)  

Es sei $ M \subset \mathbb{R}$ nicht leer. Dann gilt:

  1. $ M$    nach oben beschränkt$ \quad\Leftrightarrow\quad \sup M < \infty $
  2. Mit der Bezeichnung $ \vert M\vert :=\{\vert x\vert \mid x\in M \} $ gilt:

    $\displaystyle M$    beschränkt$\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \sup \vert M\vert < \infty$.$\displaystyle $

Beispiele 2.5.11 (Supremum monotoner Folgen)  

Es sei $ (a_n)_n$ eine monoton wachsende Folge. Dann gilt:

  1. $ \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} a_n
:=\sup\{a_n \mid n\in\mathbb{N}\} =\lim\limits_{n\to\infty} a_n $.
  2. $ \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} a_n < \infty
\quad\Leftrightarrow\quad (a_n)_n $ beschränkt.

Folgerung aus der Existenz von Suprema und Infima:

Satz 2.5.12 (Charakterisierung von Intervallen)  

Es sei $ I\subset \mathbb{R}$ nicht leer. Dann sind äquivalent:

(1)
$ I $ ist ein Intervall.
(2)
$ I $ enthält mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. D. h. für alle $ x$, $ y \in I $ und alle $ \xi\in\mathbb{R}$ gilt:

$\displaystyle x<\xi<y \quad\Rightarrow\quad \xi\in I$   .$\displaystyle $

Beweis .

\fbox{1\( \Rightarrow \)2}
Für Intervalle gilt offensichtlich (2.)
\fbox{2\( \Rightarrow \)1}
Setze $ a :=\inf M \in \overline{\mathbb{R}} $ und $ b :=\sup M \in \overline{\mathbb{R}} $.

Wir zeigen zunächst, daß $ I \setminus \{ a,b \} = (a,b) $ ist:

$\displaystyle z\in (a,b)$ $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad$   $\displaystyle \inf I <z< \sup I$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad$   es existieren $\displaystyle x,y\in I$    mit $\displaystyle x<z$    und $\displaystyle z<y$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad$   $\displaystyle z\in I\setminus \{ a,b \}$   .    

Es gibt nun vier Fälle, je nachdem ob $ a$ oder $ b$ in $ I $ oder nicht in $ I $ liegen:

$\displaystyle \mathrm{(i)}\quad$ $\displaystyle a\in I, b\in I$ $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$ $\displaystyle I = [a,b].$    
$\displaystyle \mathrm{(ii)}\quad$ $\displaystyle a\in I, b\not\in I$ $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$ $\displaystyle I = [a,b).$    
$\displaystyle \mathrm{(iii)}\quad$ $\displaystyle a\not\in I, b\in I$ $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$ $\displaystyle I = (a,b].$    
$\displaystyle \mathrm{(iv)}\quad$ $\displaystyle a\not\in I, b\not\in I$ $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$ $\displaystyle I = (a,b).$    


next up previous contents
Nächste Seite: Zwischenwertsatz Aufwärts: Supremum und Zwischenwertsatz Vorherige Seite: Supremum   Inhalt
Analysis1-A.Lambert 2001-02-09