Uneigentliche Suprema

Für nach oben unbeschränkte Mengen führen wir ein uneigentliches Supremum in $\overline{\mathbb{R}}$ ein.

Man kann dann gewisse Sachverhalte statt in Worten kurz in Formeln ausdrücken und kann mit diesen uneigentlichen Suprema auch rechnen (vgl. ).

Bezeichnung 2.5.9 ( $\sup M = \infty$)  

Es sei $M \subset \mathbb{R}$ nicht leer.

1. Wenn $M$ nach oben unbeschränkt ist, setzen wir
   $$\sup M :=\infty$$.$$$$

2. Wenn $M$ nach unten unbeschränkt ist, setzen wir
   $$\inf M :=-\infty$$   .$$$$

Beispiele 2.5.10 ( $\sup M \in \overline{\mathbb{R}}$)  

Es sei $M \subset \mathbb{R}$ nicht leer. Dann gilt:

1. $M$    nach oben beschränkt$\quad\Leftrightarrow\quad \sup M < \infty$
2. Mit der Bezeichnung $\vert M\vert :=\{\vert x\vert \mid x\in M \}$ gilt:
   $$M$$    beschränkt$$\quad\Leftrightarrow\quad \sup \vert M\vert < \infty$$.$$$$

Beispiele 2.5.11 (Supremum monotoner Folgen)  

Es sei $(a_n)_n$ eine monoton wachsende Folge. Dann gilt:

1. $\sup\limits_{n\in\mathbb{N}} a_n :=\sup\{a_n \mid n\in\mathbb{N}\} =\lim\limits_{n\to\infty} a_n$.
2. $\sup\limits_{n\in\mathbb{N}} a_n < \infty \quad\Leftrightarrow\quad (a_n)_n$ beschränkt.

Folgerung aus der Existenz von Suprema und Infima:

Satz 2.5.12 (Charakterisierung von Intervallen)  

Es sei $I\subset \mathbb{R}$ nicht leer. Dann sind äquivalent:

(1)

$I$ ist ein Intervall.

(2)

$I$ enthält mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. D. h. für alle $x$, $y \in I$ und alle $\xi\in\mathbb{R}$ gilt:

$$x<\xi<y \quad\Rightarrow\quad \xi\in I$$   .$$$$

Beweis .

Für Intervalle gilt offensichtlich (2.)

Setze $a :=\inf M \in \overline{\mathbb{R}}$ und $b :=\sup M \in \overline{\mathbb{R}}$.

Wir zeigen zunächst, daß $I \setminus \{ a,b \} = (a,b)$ ist:

$$z\in (a,b) \quad\Leftrightarrow\quad \inf I <z< \sup I$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad x,y\in I x<z z<y$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad z\in I\setminus \{ a,b \}$$

Es gibt nun vier Fälle, je nachdem ob $a$ oder $b$ in $I$ oder nicht in $I$ liegen:

$$\mathrm{(i)}\quad a\in I, b\in I \quad\Rightarrow\quad I = [a,b].$$

$$\mathrm{(ii)}\quad a\in I, b\not\in I \quad\Rightarrow\quad I = [a,b).$$

$$\mathrm{(iii)}\quad a\not\in I, b\in I \quad\Rightarrow\quad I = (a,b].$$

$$\mathrm{(iv)}\quad a\not\in I, b\not\in I \quad\Rightarrow\quad I = (a,b).$$