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Für nach oben unbeschränkte Mengen
führen wir ein uneigentliches Supremum in
ein.
Man kann dann gewisse Sachverhalte statt in Worten
kurz in Formeln ausdrücken und kann
mit diesen uneigentlichen Suprema auch rechnen
(vgl. ).
Bezeichnung 2.5.9 (
)
Es sei
nicht leer.
- Wenn nach oben unbeschränkt ist, setzen wir
.
- Wenn nach unten unbeschränkt ist, setzen wir
.
Beispiele 2.5.10 (
)
Es sei
nicht leer. Dann gilt:
-
nach oben beschränkt
- Mit der Bezeichnung
gilt:
Beispiele 2.5.11 (Supremum monotoner Folgen)
Es sei eine monoton wachsende Folge. Dann gilt:
-
.
-
beschränkt.
Folgerung aus der Existenz von Suprema und Infima:
Beweis .
- Für Intervalle gilt offensichtlich (2.)
- Setze
und
.
Wir zeigen zunächst, daß
ist:
Es gibt nun vier Fälle, je nachdem ob oder in
oder nicht in liegen:
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09