Wir leiten ein weiteres Konstruktionsprinzip für reelle Zahlen her. Nicht jede beschränkte Teilmenge hat Maximum und Minimum. Wir suchen für diesen Fall einen nützlichen Ersatz.
Ein Beispiel hierfür ist das offene Intervall . Die Intervallenden und sind ausgezeichnet:
Wir führen für den gesuchten Begriff kleinste obere Schranke eine Bezeichnung ein:
Es sei nicht leer und nach oben beschränkt. Hat die Menge
Beispiel. Für das Intervall gilt und .
Analog zur kleinsten oberen Schranke definiert man für eine nichtleere, nach unten beschränkte Menge die größte untere Schranke.
Diese heißt Infimum von und wir mit
Es sei nicht leer und nach oben beschränkt. Es ist genau dann , wenn die folgenden beiden Bedingungen gelten:
Die Folge in (2.) kann monoton wachsend gewählt werden.
(2.) Da kleinste obere Schranke ist, ist keine obere Schranke von und es gibt ein
Man setze (vgl. Feststellung )
Aus der Grenzwertregel für Folgen ergibt sich die Bemerkung:
Es sei nicht leer. Wenn eine konvergente Folge von oberen Schranken von ist, so ist auch der Grenzwert eine obere Schranke von .
Aus den Axiomen
Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von hat eine kleinste obere Schranke .
Anmerkung. 1. Umgekehrt folgen aus der Supremums-Eigenschaft das Archimedische Axiom und das Intervallschachtelungsprinzip.
2. Zum Beweis konstruieren wir induktiv mit der Methode der Intervall-Halbierung eine Intervallschachtelung.
Beweis . Wir konstruieren induktiv zwei monotone Folgen in und in , so daß für gilt:
Dann setze man . Es gibt zwei Fälle
Dann ist .
Dann ist .