Zwischenwertsatz

Das Supremum ist ein geeignetes Hilfmittel bei der Suche nach dem Maximum einer beschränkten Menge. Man muß nur nachprüfen, ob das Supremum der Menge ein Element der Menge ist.

Lemma 2.5.13  

Es seien $a$, $b \in \mathbb{R}$, $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und $c \in \mathbb{R}$.

Wenn die Menge

$$M :=\{ x \mid x\in [a,b],\ f(x)\leqslant c \} \not= \emptyset$$,$$$$

dann exisitiert $\max M$.

Bemerkung Auf den linken Endpunkt $a$ kommt es nicht an. Das Lemma gilt genauso für Intervalle der Form $(a,b]$ und $(-\infty,b]$.

Beweis . Da $M$ nach oben beschränkt ist, existiert

$$s :=\sup M \in\mathbb{R}$$.$$$$

Nach Feststellung gibt es eine Folge $(x_n)_n$ in $M$, die gegen $s$ konvergiert. Da $f$ stetig ist, folgt

$$f(s) = \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) \leqslant c$$

und somit $s\in M$.

Satz 2.5.14 (Zwischenwertsatz)  

Es seien $a$, $b \in \mathbb{R}$, $a < b$ und $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Wir betrachten den Fall $f(a) < f(b)$.

Zu jedem $c \in \mathbb{R}$ mit $f(a)<c<f(b)$, gibt es mindestens ein $\xi \in (a,b)$ mit $f(\xi) = c$.

Bemerkung.

1. Der Zwischenwertsatz gilt analog im Fall $f(b) < c < f(a)$.
2. Man kann alle Fälle zusammenfassen:

   Zwischenwertsatz. Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein nichtleeres Intervall, $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und $a$, $b \in I$.
   Wenn $f(a) \not= f(b)$ ist, so gibt es zu jedem $c \in \mathbb{R}$, das zwischen $f(a)$ und $f(b)$ liegt, mindestens ein $\xi$ zwischen $a$ und $b$ mit $f(\xi) = c$.

Beweis (Zwischenwertsatz). Wir suchen das größte $s\in[a,b]$, für das $f(s)=c$ ist.

Da $f(a) < c$ ist, ist

$$M :=\{ x \mid x\in [a,b],\ f(x)\leqslant c \} \not= \emptyset$$   ,$$$$

und nacht Lemma existiert $s :=\max M$. Da $f(s) \leqslant c < f(b)$, ist $s\not=b$ und somit $s<b$.

Da $s = \max M$, sind für $x\in (s,b]$ die Funktionwerte

$$f(x)>c$$   .$$$$

Da $f$ stetig ist, folgt

$$f(s) = \lim_{x\downarrow s}f(x) \geqslant c$$   .$$$$

Also ist $f(s)=c$.

Mit Satz ergibt sich das Korollar:

Korollar 2.5.15 (Stetiges Bild eines Intervalls)  

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Dann ist $f(I)$ ein Intervall.

Als einfache Anwendung zeigen wir noch einmal die Existenz von Wurzeln. Wir hatten in Feststellung bereits ein Iterationsverfahren angegeben, das gegen die $n$-te Wurzel konvergiert.

Beispiele 2.5.16   Es seien $n\in \mathbb{N}$ und $c>0$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $x > 0$, so daß $x^n=c$.

Bemerkung. Der Zwischenwertsatz liefert die Wurzel als Supremum der Menge $\{ x \mid x\in [0,1+\frac{c-1}{n}],\ P(x)\leqslant 0 \}$. Diese Supremum wird im Satz mit dem Intervall-Halbierungsverfahren bestimmt.

Das Intervall-Halbierungsverfahren ist ein Allzweckverfahren, das zwar immer konvergiert, aber nicht die besondere Struktur der Gleichung berücksichtigt.

Das Iterationsverfahren konvergiert dagegen wesentlich schneller (Stichwort: quadratische Konvergenz).

Beweis . Die Funktion

$$P(x) :=x^n -c$$   für $x\in [0,\infty)$$$$$

erfüllt $P(0) = -c <0$.

Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt $P(1+\frac{c-1}{n}) \geqslant 0$.

Nach dem Zwischenwertsatz hat $P$ eine Nullstelle im Intervall $(0,1+\frac{c-1}{n}]$.