Bemerkung.
Mit dem Integral einer Funktion auf einem Intervall wird die Fläche angegeben, die durch das Intervall auf der Koordinatenachse und den Graphen von begrenzt wird.
Dabei zählen Flächen oberhalb der Koordinatenachse positiv und Flächen unterhalb der Korodinatenachse negativ.
Für kompakte Intervalle kann man den Quotienten aus der obigen Fläche und der Länge des Intervalls als Mittelwert der Funktion auf dem Intervall ansehen.
Beispiel aus der Physik:
Wenn das Fahrzeug rückwärts fährt ist .
Bemerkung.
In den Lehrbüchern findet man unterschiedliche Zugänge zum Integral, die sich, abgesehen von den verschiedenen Konstruktionen, darin unterscheiden, wie umfangreich die Funktionenklassen sind, für die ein Integral erklärt wird.
Mit wachsender Allgemeinheit aufgezählt sind dies
Diese Integralbegriffe ergeben auf den jeweils kleineren Funktionenklassen dasselbe Ergebnis.
Bemerkung. Das Ziel der Integraltheorien ist weniger, für möglichst wilde Funktionen ein Integral zu erklären, sondern zu zeigen, wie sich das Integral mit unterschiedlichen Konvergenzbegriffen für Funktionenfolgen verträgt.
Eine Folge von Funktionen kann z. B. beschränkt oder monoton sein und sie kann punktweise oder gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergieren.
Die folgenden Regeln sollten so allgemein wie möglich gelten:
Bemerkung (Zur Wahl der Integrationstheorie).
In der Analysis I beschränken wir uns vorerst auf:
Bemerkung Wir charakterisieren das Integral der Regelfunktionen durch Axiome, die durch die anschauliche Deutung des Integrals als Fläche nahegelegt werden:
Das Regel-Integral ist eine Familie von Abbildungen von den Regelfunktionen in die reellen Zahlen mit den folgenden Eigenschaften:
1. Zu jedem nichtleeren, kompakten Intervall , gibt es eine Abbildung, die man Integral über nennt:
Sehr suggestiv ist die von von Leibniz eingeführte Bezeichnung des Integrals mit einer formalen Variablen und einem Differential . Vorerst ist das Differential nur ein Symbol.
Es seien ein nichtleeres Intervall und . In Differentialschreibweise bezeichnet man das Integral mit:
Bemerkung. In dieser Bezeichnung wirken das Integralzeichen und das Differental wie eine öffnende und eine schließende Klammer.
Wie bei einem Summationsindex ist die Bezeichnung der Variablen unwesentlich: .
Bemerkung. Mit Bezeichnung (1.) gilt für :
Integriert man entlang des Weges von nach und dann zurück von nach , so erhält man das Integral entlang der Wegstrecke von nach .
Es seien ein Intervall und . Die Funktion
Bemerkung.
Eine Stammfunkton einer Regelfunktion ist auf jedem kompakten Teilintervall Lipschitsstetig.
Eine Lipschitzkonstante von ist :
Beweis . Für gilt
. | |||||