Regelfunktionen

Wir stellen für die Integrationstheorie eine Klasse von reellen Funktionen bereit, die sogenannten Regelfunktionen.

Zu den Regelfunktionen gehören die Treppenfunktionen und die stückweise stetigen Funktionen:

Definition 2.8.12 (Treppenfunktion)  

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Eine Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ heißt eine Treppenfunktion, wenn es endlich viele Punkte $a=c_0 < c_1, \dots < c_k = b$ so gibt, daß für $\kappa = 1,\dots,k$ die Einschränkung $f\vert _{\textstyle(c_{\kappa-1},c_\kappa)}$ konstant ist.

Bemerkung. Die Treppenfunktion $f$ ist also auf den offenenen Intervallen $(c_{\kappa-1},c_\kappa)$ konstant. Die Werte in den Teilpunkten $c_\kappa$ unterliegen keiner Beschränkung.

Definition 2.8.13 (Stückweise stetige Funktion)  

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Eine Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ heißt stückweise stetig, wenn es endlich viele Punkte $a=c_0 < c_1, \dots < c_k = b$ so gibt, daß für $\kappa = 1,\dots,k$ die Einschränkung $f\vert _{\textstyle(c_{\kappa-1},c_\kappa)}$ stetig ist und in den Endpunkten einseitige Grenzwerte in $\mathbb{R}$:

$$f(c_{\kappa-1}^+) = \lim_{x\downarrow c_{\kappa-1}} f(x)$$   bzw.$$\quad f(c_\kappa^-) = \lim_{x\uparrow c_\kappa} f(x)$$

hat.

Bemerkung. Die stückweise stetige Funktion $f$ ist also auf den offenenen Intervallen $(c_{\kappa-1},c_\kappa)$ stetig und hat eine stetige Fortsetzung auf die abgeschlossenen Intervalle $[c_{\kappa-1},c_\kappa]$.

Es gibt keine Vorschrift für die Werte in den Teilpunkten $c_\kappa$.

Eine stückweise stetige Funktion ist beschränkt.

Definition 2.8.14 (Regelfunktion)  

Es sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall mit Anfangpunkt $a\in \overline{\mathbb{R}}$ und Endpunkt $b \in \overline{\mathbb{R}}$. Eine Funktione $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt eine Regelfunktion, wenn folgendes gilt:

1. Für jeden inneren Punkt $x\in (a,b)$ existieren in $\mathbb{R}$ der linksseitige Grenzwert $f(x^+)$ und der rechsseitige Grenzwert $f(x^-)$.
2. Wenn der Anfangspunkt $a\in I$ liegt, so existiert der rechtseitige Grenzwert $f(a^+) \in \mathbb{R}$.
3. Wenn der Endpunkt $b \in I$ liegt, so existiert der linksseitige Grenzwert $f(b^-) \in\ R$.

Die Menge der Regelfunktionen auf $I$ wird mit $\mathcal{R}(I) = \mathcal{R}(I,\mathbb{R})$ bezeichnet.

Bemerkung Die Definition der Regelfunktion macht keine Vorschrift über die Lage von $f(x)$ zu den einseitigen Grenzwerten $f(x^+)$ und $f(x^-)$ im selben Punkt.

Beispiele 2.8.15 (Regelfunktionen)  

Beispiele von Regelfunktionen sind:

1. Treppenfunktionen (vgl. Definition ),
2. stückweise stetige Funktionen (vgl Definition ),
3. monotone Funktionen (vgl. Beispiel (3.)) ,
4. Maximum, Summe, Produkt, und Quotient von Regelfunktionen:

   Die Rechenregeln für stetige Funktionen gelten sinngemäß für Regelfunktionen.

5. die Stammbrüche-Funktion (vgl. Beispiel )

   Dagegen ist die Wackelfunktion (vgl. Beispiel (.)) keine Regelfunktion, da für die Wackelfunktion in $x=0$ die einseitigen Grenzwerte nicht existieren.

Feststellung 2.8.16 (Grenzwert von Regelfunktionen)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $(f_n)_n$ eine Folge von Regelfunktionen auf $I$ , die gleichmäßig auf $I$ gegen eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ konvergiert.

Dann ist die Grenzfunktion $f$ eine Regelfunktion.

Beweis . Die Feststellung folgt unmittelbar aus Satz

Satz 2.8.17 (Approximation für Regelfunktionen)  

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Für eine Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $f$ ist eine Regelfunktion.
2. Es gibt eine Folge von Treppenfunktionen $t_n:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert:
   $$\Vert t_n-f\Vert \to 0$$   .$$$$

Korollar 2.8.18 (Beschränktheit von Regelfunktionen)   Eine Regelfunktion auf einem kompakten Intervall ist beschränkt.

Übungsaufgabe. Man beweise die Ausage des des Korollars unabhängig, indem man die Beweismethode des Lemmas anpaßt. Man vgl. dazu auch den Beweis von Satz .

Beweis . Klar nach Feststellung

Zu $n\in \mathbb{N}$ bilde man die Menge

$$A_n :=\{ c\in[a,b] \mid t:[a,c]\rightarrow \mathbb{R}$$

$$\textstyle \vert t(x)-f(x)\vert<\frac{1}{n} x\in [a,c]$$

Behauptung:

$a \in A_n$ und $x_0 :=\sup A_n \in A_n$.

Es ist $a \in A_n$. Sei also $a < x_0$. Da $f$ Regelfunktion und $x_0 = \sup A_n$ ist, gibt es $c\in A_n$ mit $a \leqslant c < x_0$, so daß

$$\textstyle \vert f(x)-f(x_0^-)\vert < \frac{1}{n}$$   für $c < x < x_0$.$$$$

Man wähle eine Treppenfunktion $t:[a,c]\rightarrow \mathbb{R}$ und setze $t$ zu einer Treppenfunktion $\tilde{t}:[a,x_0]\rightarrow \mathbb{R}$ fort:

$$\tilde{t}(x) :=\left\{ \begin{array}{ll} t(x) &\quad\text{f\uml u... ...c,x_0) \),} \\ f(x_0) &\quad\text{f\uml ur \( x=x_0 \),} \end{array} \right.$$

Dann gilt $\vert t(x)-f(x)\vert<\frac{1}{n}$ für $x\in [a,x_0]$. Also $x_0\in A_n$.

Annahme:

$x_0:=\max{A_n} < b$.

Da $f$ Regelfuntion ist, gibt es $d\in [a,b]$ mit $x_0 < d$ so, daß

$$\vert f(x)-f(x_0^+)\vert < \frac{1}{n}$$   für $x\in(x_0,d\,]$.$$$$

Man wähle eine Treppenfunktion $t:[a,x_0]\rightarrow \mathbb{R}$ und setze $t$ auf $[a,d]$ fort:

$$\tilde{t}(x) :=\left\{\begin{array}{ll} t(x) &\quad\text{f\uml ur... ...\\ f(x_0^+) &\quad\text{f\uml ur \( x\in (x_0,d\,] \).} \end{array} \right.$$

Dann gilt $\vert t(x)-f(x)\vert<\frac{1}{n}$ für $x\in [a,d]$. Also ist $d\in A_n$ im Widerspruch zur Annahme.

Also ist $A_n = [a,b]$ und es gibt eine Treppenfunktion $t_n:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ mit $\vert t_n(x) -f(x)\vert < \frac{1}{n}$ für $x \in [a,b]$.

Die Folge $(t_n)_n$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen $f$.

Bemerkung 2.8.19 (zur Beweismethode von Satz )   Die Beweismethode des Approximationssatzes wird haüfiger verwendet. Man spricht von einem Zusammenhangs-Schluß:

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und $E$ eine Eigenschaft, die ein Teilintervall $[c,d] \subset [a,b]$ haben kann. Es gelte:
    Aus $[c,d]$ und $(d,e]$ haben $E$, folgt $[c,e]$ hat $E$.

Man bilde dann $A :=\{ c \mid c\in[a,b], \ [a,c]$    hat Eigenschaft $E \}$   .$$ und zeige:

1. $a\in A$.
2. $\sup A \in A$, d.h. $\max A$ existiert.
3. Wenn $c \in A$ und $c \not= b$, so gibt es ein $d \in (c,b]$ mit $d\in A$.

Dann hat $[a,b]$ die Eigenschaft $E$.

Korollar 2.8.20 (Monotone Aproximation)  

Es seien $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. und $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine Regelfunktion.

1. Es gibt eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen $f$ konvergiert.
2. Wenn $f \geqslant 0$ ist, gibt es eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen Treppenfunktionen, die gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen $f$ konvergiert.

Bemerkung Analog zu (1.) gibt es eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Beweis .

1. Es sei $(t_n)_n$ eine Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Man bilde zunächst die Treppenfunktion
   $$u_n :=t_n - \Vert t_n-f\Vert$$   .$$$$
   Dann gilt $u_n \leqslant f$ und $\Vert u_n-f\Vert \leqslant 2 \Vert t_n-f\Vert \to 0$.

   Für die Treppenfunktionen

   $$v_n :=\max(u_1,\dots,u_n)$$
   gilt dann
   $$u_n \leqslant v_n \leqslant f$$   und$$\quad \Vert v_n-f\Vert \leqslant \Vert u_n-f\Vert \to 0$$   .$$$$

2. Wenn $f \geqslant 0$ so bilde man zunächst die Folge $(v_n)_n$ wie in (1.). Dann leistet $w_n :=\max(v_n,0)$ das Gewünschte.

Bemerkung 2.8.21   Es seien $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall und $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine Regelfunktion. Zu $n\in \mathbb{N}$ gibt es höchstens endlich viele Punkte $\{x_1,\dots, x_{k_n} \}$ in denen

$$\vert f(x_\kappa^-) - f(x_\kappa^+)\vert \geqslant \frac{1}{n}$$

ist.

Feststellung 2.8.22   Eine Regelfunktion hat also höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.

Beweis . Es gibt eine Treppenfunktion $t_n:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ mit

$$\vert t_n(x)-f(x)\vert < \frac{1}{2n}$$   für $x \in [a,b]$.$$$$

In allen Stetigkeitstellen $x$ von $t_n$ ist dann

$$\vert f(x^-) - f(x^+)\vert \leqslant \vert f(x^-)-t(x)\vert+\vert t(x)-f(x^+)\vert < \frac{1}{n}$$   .$$$$