Bemerkung. Wir haben in Definiton axiomatisch festgelegt, welche Eigenschaften ein Integral hat und einige Folgerungen aus den Axiomen gezogen. Es ist aber noch unklar, ob es überhaupt ein Integral für Regelfunktionen gibt und, falls ja, ob es eindeutig bestimmt ist.
Wir zeigen zuächst, daß das Integral auf den Treppenfunktionen exisitiert und eindeutig erklärt ist.
Bemerkung. Bei der Berechnung des Integral von Treppenfunktionen hilft die folgende Verschärfung der Eichungsvorschrift:
Beweis . Man fixiere ein . Die Stammfunktion
Subtrahiert man diese beiden Gleichungen, so erhält man
. |
Bemerkung. Wir folgern aus den Axiomen für das Integral eine Formel für das Integral einer Treppenfunktion und zeigen anschließend, daß das Integral durch diese Formel wohldefiniert und damit eindeutig bestimmt ist.
Es sei ein kompaktes Intervall, mit Teilpunkten , und eine Treppenfunktion, die auf den Teilintervallen konstant ist:
Bemerkung. Die Darstellung einer Treppenfunktion durch Angabe von Teilpunkten und der Werte
für , | ||||
für |
Wir wollen zeigen, daß sich das Ergebnis der Formel von der Darstellung der Treppenfunktion unabhängig ist. D.h. das Integral ist durch die Formel wohldefiniert.
Es sei eine Treppenfunktion. Wir nennen eine Menge von Punkten eine für zulässige Zerlegung des Intervalls , wenn
Bemerkung. Wir zeigen schreiben später statt .
Bemerkung. Wenn und zulässige Zerlegungungen sind, so bilde man die Zerlegung , die gerade aus allen Teilpunkten von und den Teilpunkten von besteht, und zeige
Es reicht also zu zeigen, daß beim Hinzufügen eines weiteren Teilpunktes sich das Ergebnis der Formel nicht ändert.
Dann folgt induktiv und analog .
Beweis . Es reicht zu zeigen, daß sich die Zerlegungsumme beim Hinzufügen eines weiteren Teilpunktes nicht ändert.
Es sei eine für zulässige Zerlegungen von mit
Es gibt ein , so daß ist. Dann folgt
Es sei ein kompaktes Intervall. Das Integral einer Treppenfunktion definiert man als Zerlegungssumme zu einer zulässigen Zerlegung von (vgl. Bezeichnung ):
Das Integral von Treppenfunktionen erfült die Regeln
Beweis .
Das Integral von Treppenfunktionen ist linear:
Für Treppenfunktionen , und , gilt
Beweis . Zu zwei Treppenfunktionen auf I gibt es eine gemeinsame zulässige Zerlegung des komapkten Intervalls . Aus der Formel folgt
Bemerkung. Aus der Abschätzung
Es sei ein kompaktes Intervall. Für das Integral einer Treppenfunktion gilt:
Bemerkung. Aus der Normabschätzung des Integrals und der Linearität des Integrals erhält man für die Differenz der Integrale zwei Treppenfunktionen die folgende Abschätzung
Es sei ein kompaktes Intervall. Für das Integral zweier Treppenfunktionen , gilt:
Bemerkung. Diese Ungleichung hat die Form einer Lipschitz-Bedingung und wird genau so benutzt, um die Konvergenz von Integralen zu zeigen.