Integral von Treppenfunktionen

Bemerkung. Wir haben in Definiton axiomatisch festgelegt, welche Eigenschaften ein Integral hat und einige Folgerungen aus den Axiomen gezogen. Es ist aber noch unklar, ob es überhaupt ein Integral für Regelfunktionen gibt und, falls ja, ob es eindeutig bestimmt ist.

Wir zeigen zuächst, daß das Integral auf den Treppenfunktionen exisitiert und eindeutig erklärt ist.

Bemerkung. Bei der Berechnung des Integral von Treppenfunktionen hilft die folgende Verschärfung der Eichungsvorschrift:

Lemma 3.1.6 (Eichung des Integrals)  

Es sei $f\in \mathcal{R}([a,b])$ und $f\vert(a,b) = c$ konstant. Dann gilt

$$\textstyle \int\limits_{[a,b]}\!f = c\,(b-a)$$

Beweis . Man fixiere ein $x_0 \in (a,b)$. Die Stammfunktion

$$F: x\mapsto \int_{x_0}^x f(t)\,dt$$   für $x \in [a,b]$.$$$$

ist Lipschitz-stetig. Also gilt

$$F(a^+) = \lim_{x\downarrow a}F(x) = \lim_{x\downarrow a}\int_x^{x_0} f(t)\,dt = \lim_{x\downarrow a}c\,(x_0-x)$$

$$= c\,(x_0-a)$$

Analog folgt $F(b^-) = c\,(b-x_0)$.

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen, so erhält man

$$\int_a^b f(t)\,dt = F(b)-F(a) = F(b^-)-F(a^+)$$

$$= c\,(b-x_0)-c\,(x_0-a) = c\,(b-a)$$

Bemerkung. Wir folgern aus den Axiomen für das Integral eine Formel $(\star)$ für das Integral einer Treppenfunktion und zeigen anschließend, daß das Integral durch diese Formel wohldefiniert und damit eindeutig bestimmt ist.

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall, mit Teilpunkten $a=x_0 < x_1 < \dots x_n = b$, und $t:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ eine Treppenfunktion, die auf den Teilintervallen $(x_{k-1},x_k)$ konstant ist:

$$t\vert(x_{k-1},x_k) = c_k$$   für $k=1,\dots,n$.$$$$

Nach Korollar muß dann gelten:

$$\textstyle \int\limits_{[x_{k-1},x_k]}\!\!\! t = c_k(x_k - x_{k-1})$$.$$$$

Aus der Intervall-Additivität des Integrals folgt dann

$$\int\limits_{[a,b]}\!t \ =\ \sum_{k=1}^n\, \int\limits_{[x_{k-1},x_k]}\!\!\! t \ =\ \sum_{k=1}^n c_k (x_k - x_{k-1} ) \qquad(\star)$$.$$$$

Bemerkung. Die Darstellung einer Treppenfunktion $t:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ durch Angabe von Teilpunkten $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ und der Werte

$$f\vert(x_{k-1},x_k) = c_k k=1,\dots,n$$

$$t(x_k) k=0,\dots,n$$

ist nicht eindeutig. Man kann z. B. das Intervall durch weitere Teilpunkte unterteilen und erhält eine andere Darstellung der Treppenfunkton $t$.

Wir wollen zeigen, daß sich das Ergebnis der Formel $(\star)$ von der Darstellung der Treppenfunktion unabhängig ist. D.h. das Integral ist durch die Formel $(\star)$ wohldefiniert.

Bezeichnung 3.1.7 (Zerlegungssumme)  

Es sei $t:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ eine Treppenfunktion. Wir nennen eine Menge $Z$ von Punkten $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ eine für $t$ zulässige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$, wenn

$$t\vert(x_{k-1},x_k) = c_k$$   für $k=1,\dots,n$$$$$

konstant ist und bezeichnen das Ergebnis der Formel $(\star)$ mit

$$I(Z)=I(Z,t) :=\sum_{k=1}^n c_k (x_k - x_{k-1} ) \qquad(\star\star)$$.$$$$

$I(Z)=I(Z,t)$ heißt die Zerlegungssume von $t$ zur Zerlegung $Z$.

Bemerkung. Wir zeigen schreiben später $\int\limits_{[a,b]} t$ statt $I(Z)$.

Lemma 3.1.8   Es sei $t:[a,b]\rightarrow$ eine Treppenfunktion. Für alle für $t$ zulässigen Zerlegungen $Z$ und $\tilde{Z}$ geben die Zerlegungssummen das gleiche Ergebnis:

$$I(Z) = I(\tilde{Z})$$   .$$$$

Bemerkung. Wenn $Z$ und $\tilde{Z}$ zulässige Zerlegungungen sind, so bilde man die Zerlegung $Z\cup\tilde{Z}$, die gerade aus allen Teilpunkten von $Z$ und den Teilpunkten von $\tilde{Z}$ besteht, und zeige

$$I(Z) = I(Z\cup\tilde{Z}) = I(\tilde{Z})$$.$$$$

Die Zerlegung $Z\cup\tilde{Z}$ entsteht aus $Z$, indem man nacheinander die Teilpunkte aus $\tilde{Z}\setminus Z$ zu $Z$ hinzufügt.

Es reicht also zu zeigen, daß beim Hinzufügen eines weiteren Teilpunktes sich das Ergebnis der Formel $(\star\star)$ nicht ändert.

Dann folgt induktiv $I(Z) = I(Z\cup\tilde{Z})$ und analog $I(\tilde{Z}) = I(Z\cup\tilde{Z})$.

Beweis . Es reicht zu zeigen, daß sich die Zerlegungsumme beim Hinzufügen eines weiteren Teilpunktes nicht ändert.

Es sei $Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_n=b \}$ eine für $t$ zulässige Zerlegungen von $[a,b]$ mit

$$t\vert(x_{k-1},x_k) = c_k$$   .$$$$

Zu einem $x^* \in [a,b]$ mit $x^* \not\in Z$ bilde man $Z^* :=Z\cup\{x^*\}$.

Es gibt ein $l \in \{1,\dots,n\}$, so daß $x_{l-1} < x^* < x_l$ ist. Dann folgt

$$I(Z) = \sum_{k=1}^n c_k (x_k - x_{k-1} )$$

$$= \sum_{k=1}^{l-1} c_k (x_k - x_{k-1} ) + c_l(x^*-x_{l-1}) + c_l(x_l-x^*)$$

$$\quad+ \sum_{k={l+1}}^n c_k (x_k - x_{k-1} ) = I(Z^*)$$

Definition 3.1.9 (Integral von Treppenfunktionen)  

Es sei $I\subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Das Integral einer Treppenfunktion $t:I\rightarrow \mathbb{R}$ definiert man als Zerlegungssumme zu einer zulässigen Zerlegung $Z$ von $I$ (vgl. Bezeichnung ):

$$\textstyle \int\limits_{I} t :=I(Z,t)$$.$$$$

Satz 3.1.10 (Eigenschaften des Integrals)  

Das Integral von Treppenfunktionen erfült die Regeln

Intervall-Additivität,

Monotonie,

Eichung,

die in den Axiomen für ein Integral gefordert werden. Es ist durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt.

Beweis .

Intervalladditivität:

Es seien $a$, $b$, $c\in I$ mit $a<b<c$ und $t:[a,c]\rightarrow \mathbb{R}$ eine Regelfunktion. Man wähle eine für $t$ zulässige Zerlegung $Z$ von $[a,c]$, die den Punkt $b$ enthält. Dann ist $Z_1 = Z\cap[a,b]$ eine zulässige Zerlegung von $[a,b]$ und $Z_2 = Z\cap[b,c]$ eine zulässige Zerlegung von $[b,c]$. Aus der Formel $(\star\star)$ folgt

$$\textstyle \int\limits_{[a,b]}\! t \,+\, \int\limits_{[b,c]}\! t = I(Z_1,t)+I(Z_2,t) = I(Z,t) = \int\limits_{[a,c]}\! t$$   .$$$$

Monotonie:

Zwei Treppenfunktionen haben eine gemeinsame zulässige Zerlegung des Intervalls. Die entsprechenden Zerlegungssummen haben die Monotonie-Eigenschaft.

Eichung:

Klar nach Definition.

Eindeutigkeit:

Folgt aus der Formel $(\star\star)$ für $I(Z,t)$.

Feststellung 3.1.11 (Linearität des Integrals)  

Das Integral von Treppenfunktionen ist linear:

Für Treppenfunktionen $t_1$, $t_2:I\rightarrow \mathbb{R}$ und $\lambda$, $\mu \in \mathbb{R}$ gilt

$$\textstyle \int\limits_{I}(\lambda t_1 + \mu t_2) = \lambda\int\limits_{I} t_1 \ + \ \mu\int\limits_{I} t_2$$   .$$$$

Beweis . Zu zwei Treppenfunktionen $t_1,t_2$ auf I gibt es eine gemeinsame zulässige Zerlegung des komapkten Intervalls $I$. Aus der Formel $(\star\star)$ folgt

$$I(Z,\lambda t_1+\mu t_2) = \lambda\, I(Z,t_1)+\mu\, I(Z,t_2)$$.$$$$

Folglich gilt:

$$\textstyle \int\limits_{I}(\lambda t_1 + \mu t_2) = \lambda\int\limits_{I} t_1 \ + \ \mu\int\limits_{I} t_2$$   .$$$$

Bemerkung. Aus der Abschätzung

$$-\Vert t\Vert \leqslant t \leqslant \Vert t\Vert$$

der Monotonie und der Eichung des Integrals erhält man die Abschätzung des Integrals durch die Norm des Integranden:

Feststellung 3.1.12 (Beschränktheit des Integrals)  

Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Für das Integral einer Treppenfunktion $t:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ gilt:

$$\textstyle \bigl\vert \int_{I} t \bigr\vert \leqslant (b-a)\,\Vert t\Vert$$.$$$$

Bemerkung. Aus der Normabschätzung des Integrals und der Linearität des Integrals erhält man für die Differenz der Integrale zwei Treppenfunktionen die folgende Abschätzung

Korollar 3.1.13 (Beschränktheit des Integrals)  

Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Für das Integral zweier Treppenfunktionen $t_1$, $t_2 :[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ gilt:

$$\textstyle \Bigl\vert\, \int\limits_{[a,b]} t_1 - \int\limits_{[a,b]}t_2 \Bigr\vert \leqslant (b-a)\,\Vert t_1-t_2 \Vert$$   .$$$$

Bemerkung. Diese Ungleichung hat die Form einer Lipschitz-Bedingung und wird genau so benutzt, um die Konvergenz von Integralen zu zeigen.