Betrag

Definition 1.1.14 (Betrag.)   Der Betrag einer reellen Zahl $a$ wird definiert durch

$$\vert a \vert := \left\{ \begin{array}{ccc} a & \mbox{f\uml... ... \geq 0\\ -a & \mbox{f\uml ur}& a < 0\\ \end{array}\right.$$

Bemerkung 1.1.15  

1. Für $a \in \mathbb{R}$ gilt
   $$\vert a \vert = \max\{a, -a\}$$

2. Für $a,b \in \mathbb{R}$ gilt
   $$\vert a\vert \leq \vert b\vert \quad\Leftrightarrow\quad -\vert b\vert \leq a \leq \vert b\vert$$

3. Für $a,b,x,y \in \mathbb{R}$ gilt:
   $$a<x<b$$    und $$a<y<b \quad\Rightarrow\quad \vert x-y\vert < \vert b-a\vert = b-a.$$

Bei der Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden mißt $\vert a\vert$ den Abstand des Punktes $a$ zum Nullpunkt und $\vert a-b\vert$ mißt den Abstand der Punkte $a$ und $b$.

Viele Rechnungen mit Beträgen beruhen nur auf dem Abstandsbegriff und benutzen nicht die Definition des Betrages.

Rechnungen, die auf den folgenden Regeln für einen Betrag beruhen, lassen sich problemlos auf den Abstand komplexer Zahlen und weitere Abstandsbegriffe übertragen.

Satz 1.1.16 (Rechenregeln für den Betrag.)   Für $a$, $b \in \mathbb{R}$ gelten:

1. $\vert a\vert \geq 0$
2. $\vert a\vert=0 \Leftrightarrow a=0$
3. $\vert ab\vert = \vert a\vert\vert b\vert$
4. $\vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert$ (Dreiecksungleichung)

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 9].

Korollar 1.1.17   Für $a$, $b \in \mathbb{R}$ gilt

$$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert \leq \vert a-b\vert .$$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 9].

Beispiele 1.1.18   .

Für die Menge

$$M:=\left\{x \in \mathbb{R}\quad\mid\quad \vert x-3\vert\vert x+3\vert<16\right\}$$

gilt

$$x \in M \quad\Leftrightarrow\quad -5<x<5.$$