Minimum und Maximum

Definition 1.1.11 (Minimum und Maximum.)  

Es sei $M \subset \mathbb{R}$.

1. Eine Zahl $a \in M$ heißt Minimum von $M$, falls für alle $x \in M$ gilt: $a\leq x$. Man bezeichnet das Minimum von $M$ mit $\min M$.
2. Eine Zahl $b\in M$ heißt Maximum von $M$, falls für alle $x \in M$ gilt: $x\leq b$. Man bezeichnet das Maximum von $M$ mit $\max M$.

Bemerkung 1.1.12   (Minimum und Maximum)

1. Sind $a_1$ und $a_2$ Minima von $M$ so ist $a_1=a_2$.

   Ebenso sind Maxima eindeutig bestimmt.

2. Wenn $M$ ein Minimum hat, so ist $\min M$ das kleinste Element von $M$.

   Wenn $M$ ein Maximum hat so ist $\max M$ das größte Element von $M$.

Beispiele 1.1.13   (Minimum und Maximum)

1. $I=\left\{x \in \mathbb{R}\mid 0 < x < 1 \right\}$ besitzt kein Minimum und kein Maximum.
2. Für $J=\left\{x \in \mathbb{R}\mid 0 \leq x \leq 1 \right\}$ gilt
   $$\min J = 0$$   und$$\quad \max J=1.$$

3. Die Mengen $\emptyset$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ haben kein Maximum. Es ist $\min \mathbb{N}= 1$.
4. $M$ habe ein Minimum. Dann hat die Menge
   $$-M := \{x\in\mathbb{R}\mid -x\in M\}$$
   ein Maximum und es gilt
   $$\max(-M) = -\min M$$