Hauptsatz der Integral- und Differential-Rechnung

Bemerkung. Die folgenden Fakten ergeben zusammengenommen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

• Zwei unbestimmte Integrale $F_1$ und $F_2$ einer Regelfunktion $f\in\mathcal{R}(I)$ unterscheiden sich nur um eine Konstante:
  $$F_1(x)-F_1(a) = \int_a^x f(\xi)\,d\xi = F_2(x)-F_2(a)$$   für $x \in I$$$$$

• Wenn $F$ ein unbestimmtes Integral einer stetigen Funktion $f: I \mapsto \mathbb{R}$ ist, dann ist $F$ im Inneren von $I$ differenzierbar und $f'=f$ (vgl. Feststellung )
• Zwei auf einem Intervall überall differenzierbare Funktionen mit gleicher Ableitung unterscheiden sich nur um eine Konstante (vgl. Korollar zum Mittelwertsatz).

Satz 3.2.19 (Hauptsatz der Diff.- u. Int.-Rechnung)  

Es seien $I$ ein nicht entartetes Intervall und $f\in\mathcal{R}(I)$ stetig im Inneren von $I$.

Für eine Funktion $F:I \rightarrow \mathbb{R}$ sind äquivalent:

1.

$F$ ist stetig auf $I$ und differenzierbar im Inneren von $I$ mit Ableitung $F' = f$.

2.

$F$ ist ein unbestimmtes Integral von $f$:

$$\int_a^b f(\xi)\,d\xi = F(x)-F(a)$$   für alle $a$, $x \in I$.$$$$

Bemerkung.

1. Der Schluß des Hauptsatzes erlaubt es , Integrale einer stetigen Funktion $f$ dadurch zu berechnen, daß man zu $f$ eine primitive Funktion $F$ mit $F' = f$ findet oder rät (siehe Formelsammlungen).
2. In der deutschen Literatur wurde der Begriff primitive Funktion durch den Begriff Stammfunktion verdrängt. Im Englischen und Französichen heißt $F$ the primitive of $f$ bzw. le primitive de $f$.
3. Der wichtigere Schluß des Hauptsatzes erlaubt es, Funktionen mit vorgegebner stetiger Ableitung $f$ zu konstruieren

   Dies ist ein erster Schritt zu Lösung von Differentialgleichungen. Umgekehrt nennt man Lösungen von Differentialgleichungen machmal auch Integrale.

Beweis (Hauptsatz der Diff.- u. Int.-Rechnung).

Zu $f\in\mathcal{R}(I)$und festem $a\in I$ bilde man die Funktion

$$\Phi: x\mapsto \int_a^x f(\xi)\,d\xi$$   für $x \in I$.$$$$

Nach Feststellung ist $\Phi$ auf jedem kompakten Teilintervall von $I$ Lipschitz-stetig. Da der Integrand $f$ im Inneren von $I$ stetig ist, ist $\Phi$ nach Feststellung dort differenzierbar mit Ableitung $\Phi'=f$. Also ist

$$\Phi'-F' = f-f = 0$$

Nach Korollar ist $\Phi-F$ konstant.

Vergleiche Feststellung .

Bemerkung. Man kann den Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung auf Regelfunktionen erweitern, wenn man die Differenzierbarkeit in allen Punkten etwas abschwächt: (vgl. Koenigsberger Kap. 9.10 und 11.4)

Hauptsatz der Diff.-u. Integralr. für Regelfunktionen.

Es sei $I$ ein nichtausgeartetes Intervall. Für $f\in\mathcal{R}(I)$ und $F:I \rightarrow \mathbb{R}$ sind äquivalent:

1.

$F$ ist stetig und bis auf eine abzählbare Ausnahmemenge $A\subset I$ differenzierbar mit Ableitung

$$F'(x) = f(x) ,$$   für $x\in I\setminus A$.$$$$

2.

$F$ ist unbestimmtes Integral von $f$:

$$\int_a^b f(\xi)\,d\xi = F(x)-F(a)$$   für alle $a$, $x \in I$.$$$$

Bemerkung. Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung und der Kettenregel ergibt sich unmittelbar die Substitutionsregel:

Satz 3.2.20 (Substitution)  

Es seien $I$ und $J$ Intervalle. Die Funktionen

$$J \stackrel{g}{\rightarrow} I \stackrel{f}{\rightarrow} \mathbb{R}$$

seien stetig und $g$ stetig differenzierbar im Innern von $I$.

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist $F\circ g$ eine Stammfunktion zu $(f\circ g) \cdot g'$.

D.h. für alle $a$, $b \in I$ gilt

$$\int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\,dx$$

Bemerkung. Für die Anwendungen beachte man die Integralgrenzen der beiden Integral!