The order of the torsion group does only depend on the choice of the line in the complete intersection of the quadratic relations Q in ℙ11. A numerical Godeaux surface X with torsion group ℤ/5 has two special reducible curves in the bicanonical system. These curves are for the form D1+D4 and D2+D3, where Di ∈|KX + ti| for a torsion element ti of order i. To construct a surface with such curves, the associated line l must intersect each of two different loci in Q in exactly one point. These loci are computed in the procedure lineConditionsTorsZ5.
i1 : kk = QQ; |
i2 : s = "1111"; |
i3 : (relLin,relPfaf,d1',d2,Ms) = setupGodeaux(kk,s); |
i4 : (randLine,subsLine) = randomLineTorsZ5(d1',relPfaf); |
i5 : transpose randLine
o5 = | 0 0 0 2 0 0 0 0 -8 0 0 0 |
| 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 |
2 12
o5 : Matrix (QQ[a , a , a , a , a , a , a , a , a , a , a , a , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , x , x , y , y , y , y ]) <--- (QQ[a , a , a , a , a , a , a , a , a , a , a , a , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , x , x , y , y , y , y ])
3,2,3 3,1,3 3,0,3 2,2,3 2,1,2 2,0,2 1,1,3 1,1,2 1,0,1 0,0,3 0,0,2 0,0,1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,7 1,1 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,5 2,7 3,0 3,1 3,3 3,5 3,7 1,0,0 2,0,1 2,1,2 3,0,0 3,1,0 4,0,1 4,2,1 4,3,3 5,1,2 5,2,2 5,3,3 5,4,3 0 1 0 1 2 3 3,2,3 3,1,3 3,0,3 2,2,3 2,1,2 2,0,2 1,1,3 1,1,2 1,0,1 0,0,3 0,0,2 0,0,1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,7 1,1 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,5 2,7 3,0 3,1 3,3 3,5 3,7 1,0,0 2,0,1 2,1,2 3,0,0 3,1,0 4,0,1 4,2,1 4,3,3 5,1,2 5,2,2 5,3,3 5,4,3 0 1 0 1 2 3
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