Die Abbildungen

Der Raum $\mathit{CB}(X,Y)$ der vollständig beschränkten Abbildungen zwischen     zwei homogenen hilbertschen Operatorräumen X,Y hat die folgenden Eigenschaften (vgl. [MP95, Prop. 1.2]):

1.

$(\mathit{CB}(X,Y),\Vert\cdot\Vert _{\mathrm{cb}})$ ist ein Banachraum.

2.

$\Vert ATB\Vert _{\mathrm{cb}} \leq \Vert A\Vert \Vert T\Vert _{\mathrm{cb}} \Vert B\Vert$ für alle A, $B \in B(\mathcal{H})$, $T \in \mathit{CB}(X,Y)\mbox{.}$

3.

$\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert T\Vert$ für alle T mit ${\rm rang}(T)=1$.

$\mathit{CB}(X,Y)$ ist damit ein   symmetrisch normiertes Ideal (s.n. Ideal) im Sinne von Calkin, Schatten [Sch70] und Gohberg [GK69]. Standardbeispiele für s.n. Ideale sind die bekannten      Schattenideale:

$${S_p} := \left\{ T \in B(\mathcal{H}) \left\vert \mbox{ die F... ... } \ell_p \right. \right\} \quad (1 \leq p < \infty) \mbox{.}$$

Viele, aber nicht alle, s.n. Ideale können als vollständig beschränkte Abbildungen zwischen homogenen, hilbertschen Operatorräumen realisiert werden. Wie so oft ist am meisten bekannt über Schattenideale.    Das erste Ergebnis in dieser Richtung war

$$\mathit{CB}({\mathcal{R}}_{\mathcal{H}},{\mathcal{C}}_{\mathcal{H}})=S_2(\mathcal{H})=\mathit{HS}(\mathcal{H})$$

isometrisch [ER91, Cor. 4.5]. Wir haben isometrisch bzw. isomorph ($\simeq$) [Mat94], [MP95], [Lam97]:

$\mathit{CB}(\downarrow,\rightarrow)$	$\mathit{MIN}_{\mathcal{H}}$	${\mathcal{C}}_{\mathcal{H}}$	$\mathit{OH}_{\mathcal{H}}$	${\mathcal{R}}_{\mathcal{H}}$	$\mathit{MAX}_{\mathcal{H}}$
$\mathit{MIN}_{\mathcal{H}}$	${B(\mathcal{H})}$	$\mathit{HS}(\mathcal{H})$	$\simeq \mathit{HS}(\mathcal{H})$	$\mathit{HS}(\mathcal{H})$	$\simeq N(\mathcal{H})$
${\mathcal{C}}_{\mathcal{H}}$	${B(\mathcal{H})}$	${B(\mathcal{H})}$	$S_4(\mathcal{H})$	$\mathit{HS}(\mathcal{H})$	$\mathit{HS}(\mathcal{H})$
$OH_{\mathcal{H}}$	${B(\mathcal{H})}$	$S_4(\mathcal{H})$	${B(\mathcal{H})}$	$S_4(\mathcal{H})$	$\simeq \mathit{HS}(\mathcal{H})$
${\mathcal{R}}_{\mathcal{H}}$	${B(\mathcal{H})}$	$\mathit{HS}(\mathcal{H})$	$S_4(\mathcal{H})$	${B(\mathcal{H})}$	$\mathit{HS}(\mathcal{H})$
$\mathit{MAX}_{\mathcal{H}}$	${B(\mathcal{H})}$	${B(\mathcal{H})}$	${B(\mathcal{H})}$	${B(\mathcal{H})}$	${B(\mathcal{H})}$

Einzig ist darin $\mathit{CB}({\mathcal{C}}_\mathcal{H}) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}B(\mathcal{H})$ eine vollständig isometrische Isomorphie (vgl. [Ble95, Thm. 3.4]). Von besonderem Interesse ist

$$\mathit{CB}(\mathit{MIN}_{\mathcal{H}},\mathit{MAX}_{\mathcal{H}}) \simeq N(\mathcal{H}).$$

Hier haben wir eine neue natürliche Norm auf den   nuklearen Operatoren, die nicht gleich der kanonischen ist. Auch im endlichdimensionalen Fall ist nur

$$\frac{n}{2} \leq \Vert\mathrm{id}:\mathit{MIN}(\ell_2^n) \rig... ...{MAX}(\ell_2^n) \Vert _{\mathrm{cb}} \leq \frac{n}{\sqrt{2}}$$

bekannt [Pau92, Thm. 2.16]. Das Bestimmen des exakten Wertes ist ein noch offenes Problem;   Paulsen vermutet, daß die obere Schranke angenommen wird [Pau92, p. 121].

Seien E ein Banachraum und $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum. Dann ist ein Operator $T \in B(E,\mathcal{H})$ genau dann vollständig beschränkt von ${\mathit{MIN}(E)}$ nach ${\mathcal{C}}_{\mathcal{H}}$ , wenn er    absolut-2-summierend [Pie67] von E nach $\mathcal{H}$ ist (vgl. [ER91, Thm. 5.7]):

$$M_1(\mathit{CB}(\mathit{MIN}(E),{\mathcal{C}}_\mathcal{H})) = {\Pi_2}(E,\mathcal{H})$$

mit $\Vert T\Vert _\mathrm{cb}=$  ${\pi_2}(T)\mbox{.}$