Die Räume

Ein Operatorraum X heißt    hilbertsch, wenn die Grundstufe M₁(X) ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ ist. Ein Operatorraum X heißt       homogen, wenn jeder beschränkte Operator $T:M_1(X) \rightarrow M_1(X)$ vollständig beschränkt ist und $\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert T\Vert$ [Pis96].

        Der minimale   $\mathit{MIN}_{\mathcal{H}}:=\mathit{MIN}(\mathcal{H})$ und der maximale     $\mathit{MAX}_{\mathcal{H}}:=\mathit{MAX}(\mathcal{H})$ hilbertsche Operatorraum, der        Spalten-Hilbertraum   ${\mathcal{C}}_{\mathcal{H}} := B({\mathbb{C} },\mathcal{H})$ und der  Zeilen-Hilbertraum         ${\mathcal{R}}_{\mathcal{H}} :=B(\overline{\mathcal{H}},{\mathbb{C} })$ sind homogene hilbertsche Operatoräume auf dem Hilbertraum $\mathcal{H}$.

Darüberhinaus haben wir für zwei Hilberträume $\mathcal{H}$ und $\mathcal{K}$ vollständige isometrische Isomorphismen [ER91, Thm. 4.1] [Ble92b, Prop. 2.2]

$$\mathit{CB}({\mathcal{C}}_{\mathcal{H}},{\mathcal{C}}_{\mathc... ...thrm{cb}}{=}B(\overline{\mathcal{K}},\overline{\mathcal{H}}).$$

Der Operatorraumschnitt und die Operatorraumsumme je zweier homogener hilbertscher Operatorräume sind wieder homogene hilbertsche Operatorräume [Pis96].

Die Operatorräume stehen in den folgenden Dualitäten [Ble92b, Prop. 2.2] [Ble92a, Cor. 2.8]:

$$\begin{eqnarray*}{\mathcal{C}}_{\mathcal{H}}^*&\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& {\math... ...l{\mathrm{cb}}{=}& \mathit{MIN}_{\overline{\mathcal{H}}}\mbox{.} \end{eqnarray*}$$

Zu jedem Hilbertraum $\mathcal{H}$ gibt es genau einen       vollständig selbstdualen homogenen Operatorraum, den   Operatorhilbertraum $\mathit{OH}_{\mathcal{H}}$ [Pis96, §1]. Es gilt also  

$$\mathit{OH}_{\mathcal{H}}^* \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{OH}_{\overline{\mathcal{H}}}\mbox{.}$$