Direkte Summe und Spaltenraum

 Seien $(A,\Vert\cdot\Vert _A)$ eine C^*-Algebra und X_i, $i=1,\dots,n$, rechte Hilbert-C^*-Moduln über A. Die Norm

$$\Vert\cdot\Vert : \bigoplus_{i=1}^n X_i\: \rightarrow {\mathbb{R} }$$

$$\left\Vert \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_... ...1}^n \, \langle \, x_i,x_i \, \rangle_A \right \Vert _A^{1/2}$$

macht aus der algebraisch direkten Summe der X_i einen rechten Hilbert-C^*-Modul über A. Die Modulabbildung wird durch

$$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{arra... ... \\ x_2 \cdot a \\ \vdots \\ x_n \cdot a \end{array} \right)$$

erklärt. Das innere Produkt definiert man durch:

$$\left\langle \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \e... ...rangle_A := \sum_{i=1}^n \, \langle x_i \, , \, y_i \rangle_A$$

Wenn gilt $X_1 = X_2 = \cdots = X_n =: X$ , so schreibt man für diesen Hilbert-C^*-Modul C_n(X). Die Einbettung von C_n(X) in ${\mathbb{M} }_n(X)$ als erste Spalte ist eine vollständige Isometrie.

Für einen linken Hilbert-C^*-Modul X bezeichne C_n(X)die Teilmenge von M_n(X), deren Elemente nur in der ersten Spalten Einträge haben. Als Unterraum von M_n(X) ist C_n(X) ein linker Hilbert-C^*-Modul über M_n(A).

Seien X_n für $n\in{\mathbb{N} }$ rechte Hilbert-C^*-Moduln über einer C^*-Algebra $(A,\Vert\cdot\Vert _A)$. Die Menge $\bigoplus_{n \, \in \, {\mathbb{N} }\,} X_n$ wird definiert durch

   $${\bigoplus_{n \in {\mathbb{N} }} \, X_n} := \left\{ \left( ... ... x_n,x_n \rangle_A \mbox{ konvergiert in } A \right. \right\}$$

Mit

$$\left\langle \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \en... ...angle_A := \sum_{n \in {\mathbb{N} }} \langle x_n,y_n \rangle_A$$

wird $\bigoplus_{n \in {\mathbb{N} }} \, X_i$ zu einem rechten Hilbert-C^*- Modul über A. Wenn gilt $X_1 = X_2 = \cdots =: X$, so schreibt man für diesen Hilbert-C^*-Modul $C_\infty (X)$.