Konvergenz von Folgen

Im vorigen Abschnitt haben wir eine Intervallschachtelung konstruiert, mit der wir die Eulersche Zahl $e$ bestimmen. Das war etwas aufwendig, aber für diese Zahl lohnt sich die Mühe. Die Intervallschachtelung hat den Vorteil, daß sie die gesuchte Zahl nach unten und oben immer genauer abschätzt.

Vielfach hat man zur Bestimmung einer Zahl - z.B. der Lösung einer Gleichung - nur eine Folge von approximativen Wert $a_n$ ( $n\in \mathbb{N}$) zur Verfügung.

Die Folge wird am Anfang vielleicht wild schwanken und sich schließlich mit immer kleineren Abweichungen einem festen Wert $c$ nähern.

Man sagt, die Folge $(a_n)_n$ konvergiert gegen den Grenzwert $c$.

Wir wollen dieses anschauliche Bild präziser definieren.

Definition 2.1.1   Eine Folge $(a_n)_n$ in $\mathbb{R}$ heißt konvergent gegen einen Grenzwert $c \in \mathbb{R}$, wenn folgendes gilt:

Zu jedem $\varepsilon \in \mathbb{R}$, $\varepsilon >0$ gibt es einen Index $n_0\in\mathbb{N}$, so daß aus $n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant n_0$, stets

$$\vert a_n-c\vert<\varepsilon$$   .$$$$

folgt. Nicht konvergente Folgen heißen divergent.

Bemerkung 2.1.2  

1. Konvergiert eine Folge nicht, so sagt man, sie divergiert.
2. Eine Folge, die gegen Null konvergiert, heißt Nullfolge.
3. Man sagt, eine Eigenschaft gilt für fast alle $n\in \mathbb{N}$, wenn es ein $n_0\in\mathbb{N}$ so gibt, daß die Eigenschaft für alle $n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant n_0$, gilt.

Feststellung 2.1.3 (Eindeutigkeit des Grenzwertes)  

Eine Folge $(a_n)$ in $\mathbb{R}$ hat höchstens einen Grenzwert.

D.h., Wenn $c$ und $\tilde{c}$ Grenzwerte einer Folge $(a_n)_n$ sind, dann ist $c=\tilde{c}$.

Bezeichnung 2.1.4 (Grenzwert)  

1. Wenn die Folge $(a_n)_n$ konvergent gegen den (eindeutigen) Grenzwert $c$ ist, so bezeichnen wir den Grenzwert mit:
   $$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n :=c.$$
   Das obige Symbol besagt, daß die Folge $(a_n)_n$ konvergiert.
2. Eine andere praktische Kurzschreibweise ist:
   $$a_n \rightarrow c \quad\Leftrightarrow\quad a_n \xrightarrow[n\r... ...arrow\infty]{} c \quad:\Leftrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = c.$$

3. Bindung:   $\dots = \mathit{Formel_n} \to c$   aber  $\lim\limits_{n\to\infty}(\mathit{Formel}_n)$.

Die beiden folgenden Konvergenzkriterien sind oftmals handlicher als die Definition . Der freiwählbare konstante Faktor $C$ und ,,$\leqslant$`` statt des ,,$<$`` erleichtern das Abschätzen.

Feststellung 2.1.5   Eine Folge $(a_n)$ konvergiert genau dann gegen $c \in \mathbb{R}$, wenn es ein $C>0$ mit der folgenden Eigenschaft gibt:

Für alle $\varepsilon >0$ gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, so daß aus $n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant n_0$ stets

$$\vert a_n-c\vert\leqslant C\cdot\varepsilon$$

folgt.

Die folgende Formulierung kommt ohne ganz ,,Epsilontik`` aus:

Feststellung 2.1.6   Für eine Folge $(a_n)_n$ in $\mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}$ gilt:

$$a_n \to c \quad\iff\quad a_n -c \to 0.$$