Bemerkung. Wir können leicht Beispiele von divergenten Folgen finden: ist sicher divergent.
Konstante Folgen sind konvergent.
Wenn man interessante Beispiele sucht, stößt man auf ein Problem, daß wir am Beispiel der Folge aufzeigen wollen.
Man vergleiche dazu aber die Folgerung aus dem Archimedischen Axiom (A).
Anmerkung: Die Definition des Grenzwertes ist nicht nur für , sondern für jeden geordneten Körper (vgl. Def. ) anwendbar. Die Folge und der Grenzwert liegen dann in diesem geordnetem Körper.
Man beachte, daß man in diesem Fall auch die Vergleichswerte aus diesem Körper wählen muß.
Das folgende Lemma gilt für jeden geordneten Körper.
Wenn die Folge konvergiert, dann ist der Grenzwert Null.
Beweisidee: Wenn dann gilt
Wir haben die eben benutzten Rechenregeln für Grenzwerte noch nicht bewiesen und zeigen diese Schlußweise direkt mit der Grenzwertdefinition.
Beweis . Es sei .
Zu existiert ein , so daß
Anmerkung:
(K) und (O) besagen nur, daß ist ein geordneter Körper ist. Das reicht nicht aus!
Die Folge ist genau dann konvergent, wenn unbeschränkt ist.
Beweis .
Ist nun , so setze man . Nach der Definition des Grenzwertes gibt es ein so daß
Wir lösen das Problem durch ein weiteres Axiom, das Axiom des Archimedes:
Archimedes von Syrakus (312-287 v. Chr.)