Archimedisches Axiom

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Archimedisches Axiom

Bemerkung. Wir können leicht Beispiele von divergenten Folgen finden: $(a_n)_n :=1,-1,1,-1,\dots$ ist sicher divergent.

Konstante Folgen sind konvergent.

Wenn man interessante Beispiele sucht, stößt man auf ein Problem, daß wir am Beispiel der Folge $(\frac{1}{n})_n$ aufzeigen wollen.

Wenn $\varepsilon$ eine rationale Zahle $\varepsilon = \frac{p}{q}$ , ( $p,q \in \mathbb{N}$ ), ist, so setze man und erhält:

$\displaystyle \textstyle n> n_0 \quad\Rightarrow\quad \left\vert\frac{1}{n}-0\right\vert = \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} \leq \frac{p}{q}= \varepsilon.$
Um die Konvergenz der Folge $(\frac{1}{n})_n$ zu zeigen, muß man die Grenzwertdefinition aber wir für beliebige $\varepsilon \in \mathbb{R}$ , $\varepsilon >0$ , nachweisen.
Man vergleiche dazu aber die Folgerung aus dem Archimedischen Axiom (A).

Anmerkung: Die Definition des Grenzwertes ist nicht nur für $\mathbb{R}$ , sondern für jeden geordneten Körper (vgl. Def. ) anwendbar. Die Folge und der Grenzwert liegen dann in diesem geordnetem Körper.

Man beachte, daß man in diesem Fall auch die Vergleichswerte $\varepsilon >0$ aus diesem Körper wählen muß.

Das folgende Lemma gilt für jeden geordneten Körper.

Lemma 2.1.7

Wenn die Folge $(\frac{1}{n})_n$ konvergiert, dann ist der Grenzwert Null.

Beweisidee: Wenn $\frac{1}{n} \to c$ dann gilt

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} =c$ und $\displaystyle \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n} =\frac{c}{2}.$

Also ist $c = \frac{c}{2}$ und somit .

Wir haben die eben benutzten Rechenregeln für Grenzwerte noch nicht bewiesen und zeigen diese Schlußweise direkt mit der Grenzwertdefinition.

Beweis . Es sei $\lim_{n\to\infty} = c$ .

Zu $\varepsilon >0$ existiert ein $n_0\in\mathbb{N}$ , so daß

$\displaystyle \textstyle \vert c -\frac{1}{n} \vert < \varepsilon$ $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle $n\in\mathbb{N}$, $n>n_0$.}$ $\displaystyle$

Hieraus folgt einerseits, da ,

$\displaystyle \textstyle \vert c - \frac{1}{2n} \vert < \varepsilon$ $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle $n\in\mathbb{N}$, $n>n_0$}$ $\displaystyle$

und andererseits

$\displaystyle \textstyle \vert \frac{c}{2} - \frac{1}{2n} \vert < \frac{\varepsilon }{2}$ $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle $n\in\mathbb{N}$, $n>n_0$.}$ $\displaystyle$

Aus der Dreiecksungleichung folgt nun:

$\displaystyle \textstyle \vert\frac{c}{2}\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \textstyle \vert c-\frac{c}{2}\vert = \vert(c-\frac{1}{2n}) + (\frac{1}{2n} - \frac{c}{2})\vert$
	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \textstyle \vert c-\frac{1}{2n}\vert + \vert\frac{1}{2n}-\frac{c}{2}\vert < \varepsilon + \frac{\varepsilon }{2}.$

für alle $n\in \mathbb{N}$ , . Also gilt

$\displaystyle \vert c\vert < 3\varepsilon$ $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle $ \varepsilon > 0 $}$ $\displaystyle$

und somit .

Anmerkung:

Um die Konvergenz der Folge $(\frac{1}{n})_n$ zu zeigen, muß man die Grenzwertdefinition wir für beliebige $\varepsilon \in \mathbb{R}$ , $\varepsilon >0$ , nachweisen. Dies gelingt aber mit Hilfe der bisherigen Axiomen (K) und (O) nicht.
(K) und (O) besagen nur, daß $\mathbb{R}$ ist ein geordneter Körper ist. Das reicht nicht aus!
Um zu zeigen, daß die Konvergenz der Folge $(\frac{1}{n})_n$ nicht aus den Axiomen (K) und (O) folgt, muß man einen sogenannten nicht-archimedisch geordneten Körper vorzeigen - dies liegt aber außerhalb der Reichweite der Vorlesung Analysis I. In einem nicht-archimedischen Körper ist die Folge $(\frac{1}{n})_n$ divergent.

Satz 2.1.8

Die Folge $(\frac{1}{n})_n$ ist genau dann konvergent, wenn $\mathbb{N}$ unbeschränkt ist.

In diesem Fall ist nach Lemma $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}= 0$ .

Beweis .

$\fbox{$\Rightarrow$}$

Es sei $\lim_{n\to\infty} = 0$ .

Ist nun $a \in \mathbb{R}$ , so setze man $\varepsilon :=\frac{1}{a}$ . Nach der Definition des Grenzwertes gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$ so daß