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Archimedisches Axiom

Bemerkung. Wir können leicht Beispiele von divergenten Folgen finden: $ (a_n)_n :=1,-1,1,-1,\dots
$ ist sicher divergent.

Konstante Folgen sind konvergent.

Wenn man interessante Beispiele sucht, stößt man auf ein Problem, daß wir am Beispiel der Folge $ (\frac{1}{n})_n$ aufzeigen wollen.

  1. Wenn $ \varepsilon$ eine rationale Zahle $ \varepsilon = \frac{p}{q}$, ( $ p,q \in \mathbb{N}$), ist, so setze man $ n_0 :=q$ und erhält:

    $\displaystyle \textstyle
n> n_0 \quad\Rightarrow\quad \left\vert\frac{1}{n}-0\right\vert =
\frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} \leq \frac{p}{q}= \varepsilon.
$

  2. Um die Konvergenz der Folge $ (\frac{1}{n})_n$ zu zeigen, muß man die Grenzwertdefinition [*] aber wir für beliebige $ \varepsilon \in \mathbb{R}$, $ \varepsilon >0$, nachweisen.

    Man vergleiche dazu aber die Folgerung [*] aus dem Archimedischen Axiom (A).

Anmerkung: Die Definition des Grenzwertes [*] ist nicht nur für $ \mathbb{R}$, sondern für jeden geordneten Körper (vgl. Def. [*] ) anwendbar. Die Folge $ (a_n)_n$ und der Grenzwert $ c$ liegen dann in diesem geordnetem Körper.

Man beachte, daß man in diesem Fall auch die Vergleichswerte $ \varepsilon >0$ aus diesem Körper wählen muß.

Das folgende Lemma gilt für jeden geordneten Körper.

Lemma 2.1.7  

Wenn die Folge $ (\frac{1}{n})_n$ konvergiert, dann ist der Grenzwert Null.

Beweisidee: Wenn $ \frac{1}{n} \to c $ dann gilt

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} =c$   und$\displaystyle \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n} =\frac{c}{2}.
$

Also ist $ c = \frac{c}{2} $ und somit $ c=0 $.

Wir haben die eben benutzten Rechenregeln für Grenzwerte noch nicht bewiesen und zeigen diese Schlußweise direkt mit der Grenzwertdefinition.

Beweis . Es sei $ \lim_{n\to\infty} = c $.

Zu $ \varepsilon >0$ existiert ein $ n_0\in\mathbb{N}$, so daß

$\displaystyle \textstyle
\vert c -\frac{1}{n} \vert < \varepsilon$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_0\).}$$\displaystyle $

Hieraus folgt einerseits, da $ 2n>n$,

$\displaystyle \textstyle
\vert c - \frac{1}{2n} \vert < \varepsilon$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_0\)}$$\displaystyle $

und andererseits

$\displaystyle \textstyle
\vert \frac{c}{2} - \frac{1}{2n} \vert < \frac{\varepsilon }{2}$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_0\).}$$\displaystyle $

Aus der Dreiecksungleichung folgt nun:
$\displaystyle \textstyle
\vert\frac{c}{2}\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \textstyle
\vert c-\frac{c}{2}\vert = \vert(c-\frac{1}{2n}) + (\frac{1}{2n} - \frac{c}{2})\vert$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \textstyle
\vert c-\frac{1}{2n}\vert + \vert\frac{1}{2n}-\frac{c}{2}\vert < \varepsilon + \frac{\varepsilon }{2}.$  

für alle $ n\in \mathbb{N}$, $ n>n_0 $. Also gilt

$\displaystyle \vert c\vert < 3\varepsilon$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle \( \varepsilon > 0 \)}$$\displaystyle $

und somit $ c=0 $.

Anmerkung:

  1. Um die Konvergenz der Folge $ (\frac{1}{n})_n$ zu zeigen, muß man die Grenzwertdefinition [*] wir für beliebige $ \varepsilon \in \mathbb{R}$, $ \varepsilon >0$, nachweisen. Dies gelingt aber mit Hilfe der bisherigen Axiomen (K) und (O) nicht.

    (K) und (O) besagen nur, daß $ \mathbb{R}$ ist ein geordneter Körper ist. Das reicht nicht aus!

  2. Um zu zeigen, daß die Konvergenz der Folge $ (\frac{1}{n})_n$ nicht aus den Axiomen (K) und (O) folgt, muß man einen sogenannten nicht-archimedisch geordneten Körper vorzeigen - dies liegt aber außerhalb der Reichweite der Vorlesung Analysis I. In einem nicht-archimedischen Körper ist die Folge $ (\frac{1}{n})_n$ divergent.

Satz 2.1.8  

Die Folge $ (\frac{1}{n})_n$ ist genau dann konvergent, wenn $ \mathbb{N}$ unbeschränkt ist.

In diesem Fall ist nach Lemma [*] $ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}= 0$.

Beweis .

\fbox{\(\Rightarrow\)}
Es sei $ \lim_{n\to\infty} = 0 $.

Ist nun $ a \in \mathbb{R}$, $ a>0 $ so setze man $ \varepsilon :=\frac{1}{a} $. Nach der Definition des Grenzwertes gibt es ein $ n_0\in\mathbb{N}$ so daß

$\displaystyle \frac{1}{n} < \varepsilon$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle \( n\in\mathbb{N}\), \( n\geqslant n_0 \).}$$\displaystyle $

Also ist

$\displaystyle n_0 > \frac{1}{\varepsilon } = a.
$

\fbox{\( \Leftarrow\)}
Zu $ \varepsilon >0$ existiert ein $ n_0\in\mathbb{N}$ mit

$\displaystyle \frac{1}{\varepsilon } < n_0.
$

Dann ist

$\displaystyle \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} < \varepsilon$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur alle \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_0\).}$$\displaystyle $

Wir lösen das Problem durch ein weiteres Axiom, das Axiom des Archimedes:

Definition 2.1.9 (Archimedisches Axiom)  

(A)
In den reellen Zahlen ist die Teilmenge $ \mathbb{N}$ unbeschränkt.

Archimedes von Syrakus (312-287 v. Chr.)


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09