Grenzwertregeln

Feststellung 2.1.10   Im Körper $\mathbb{R}$ reicht es, in der Grenzwertdefinition als Vergleichwerte $\varepsilon >0$ nur rationale Zahlen zu wählen.

Inbesondere reicht es, die Grenzwertbedingung nur für die Werte $\varepsilon _k :=\frac{1}{k}$, ( $k\in\mathbb{N}$), nachzuprüfen.

Die letzte Festellung ermöglicht induktive Beweise!

Feststellung 2.1.11 (Rechenregeln für Nullfolgen)  

Es seien $(a_n)_n$ und $(b_n)_n$ Folgen in $\mathbb{R}$. Dann gilt:

1. $a_n \to 0 \quad\iff\quad \vert a_n\vert \to 0$.
2. $\vert a_n\vert \leqslant \vert b_n\vert \ (n\in \mathbb{N})$    und $b_n \to 0 \quad\Rightarrow\quad a_n \to 0$   .
3. $\lambda\in\mathbb{R}$ und $a_n\to0 \quad\Rightarrow\quad \lambda a_n \to 0$   .
4. $a_n\to 0$    und $(b_n)_n$    beschränkt $\quad\Rightarrow\quad a_nb_n \to 0$   .
5. $a_n\to 0$    und $b_n \to 0 \quad\Rightarrow\quad \max \{ \vert a_n\vert,\vert b_n\vert \} \to 0$   .
6. $a_n\to 0$    und $b_n\to 0 \quad\Rightarrow\quad a_n+b_n \to 0$.

Bemerkung: In . reicht es, daß $\vert a_n\vert \leqslant \vert b_n\vert$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gilt (vgl. ())

Feststellung 2.1.12   Konvergente Folgen sind beschränkt.

Beispiele 2.1.13  

a)

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0,\;k\in\mathbb{N}$.

b)

Betrachte die Folge $(q^n)$ für $q\in\mathbb{R}$.
Für $q=1$ gilt: $q^n\to1$.
Für $q=-1$ ist $(q^n)$ divergent.
Für $\vert q\vert>1$ ist $(q^n)$ unbeschränkt und somit divergent.
Für $\vert q\vert<1$ gilt: $q^n\to 0$.

c)

Für alle $k\in\mathbb{N}_0$ und alle $q\in(-1,1)$ ist $\lim\limits_{n\to\infty} n^k\cdot q^n = 0$.

d)

Für alle $a \in \mathbb{R}$ ist $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0$.

Beweis (c).

$$\vert q\vert = \frac{1}{1+c}$$   mit$$\quad c = \frac{1}{\vert q\vert}-1 > 0.$$

$$(1+c)^n \geqslant \binom{n}{k+1}c^{k+1} = \frac{c^{k+1}}{(k+1)!}\prod_{l=0}^k (n-l)$$

Für $n \geqslant 2k$ ist jeder Faktor $n-l \geqslant \frac{n}{2}$ und somit:

$$\vert q\vert^n = \frac{1}{(1+c)^n} \leqslant \frac{(k+1)!}{c^{k+1}}\Bigl(\frac{2}{n}\Bigr)^{k+1}.$$

Für $n \geqslant 2k$ folgt:

$$n^k\vert q\vert^n \leqslant \frac{2^k(k+1)!}{c^{k+1}} \frac{1}{n} \to 0$$.$$$$

Feststellung 2.1.14 (Einsperregel)   Es seien $(a_n)_n$, $(b_n)_n$, $(c_n)_n$ Folgen in $\mathbb{R}$. Für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gelte

$$a_n \leqslant c_n \leqslant b_n$$   .$$$$

Ist dann

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=a$$   ,$$$$

so ist auch

$$\lim\limits_{n\to\infty}c_n = a$$   .$$$$

Beweis (Einsperregel). Da $\vert a_n -a\vert \to0$ und $\vert b_n -a\vert\to 0$, gilt $\max\{\vert a_n-a\vert,\vert b_n-a\vert\}\to 0$. Für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:

$$a_n -a \leqslant c_n -a \leq b_n -a$$

und folglich ist für fast alle $n\in \mathbb{N}$

$$\vert c_n -a\vert \leqslant \max\{ \vert a_n-a\vert, \vert b_n -a\vert \}$$   .$$$$

Also gilt nach      $\vert c_n-a\vert \to 0$.

Satz 2.1.15 (Rechenregeln für Grenzwerte)  

Es seien $(a_n)$, $(b_n)$ Folgen mit $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ und $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$. Dann ist

1. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b$, speziell $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b) = a+b$.
2. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b$, speziell $\lim\limits_{n\to\infty}(ab_n) = ab$.
3. Wenn $b\not=0$ ist, dann gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, so daß $b_n\not=0$ für $n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant n_0$. Für die Folge $(\frac{a_n}{b_n})_{n=n_0}^\infty$ gilt
   $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$$   .$$$$

4. $\lim\limits_{n\to\infty}\max\{a_n,b_n\} = \max\{a,b\}$   .$$
5. $\lim\limits_{n\to\infty} \vert a_n\vert = \vert a\vert$.$$

Anmerkung: Für keine der Aussagen gilt die Umkehrung.

Beweis (Rechenregeln für Grenzwerte). Wir führen mit Hilfe von die Behauptungen auf die Regeln für Nullfolgen zurück:

1. $(a_n + b_n) - (a+b) = (a_n -a) + (b_n -b)$.
2. $a_nb_n -ab = (a_n - a)(b_n-b) + a(b_n-b)+(a_n-a)b$.
3. Zu $\varepsilon :=\frac{\vert b\vert}{2}$ gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, so daß $\vert b -b_n\vert \leqslant \varepsilon$ für $n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant n_0$, gilt. Für $n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant n_0$ erhalten wir:
   $$\vert b\vert-\vert b_n\vert \leqslant \vert b-b_n\vert \leqslant ... ...vert}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\vert b\vert}{2} \leqslant \vert b_n\vert$$
   und
   $$\left\vert \frac{a_n}{b_n} -\frac{a}{b} \right\vert = \frac{1}{\... ...n b - ab_n\vert \leqslant \frac{2}{\vert b\vert^2}\vert(a_n-a)b +a(b- b_n)\vert$$.$$$$

4. $\vert \max\{a_n,b_n\} - \max\{a,b\} \vert\leqslant \max\{\vert a_n-a\vert,\vert b_n-b\vert\}$.
5. $\vert\vert a_n\vert - \vert a\vert\vert \leqslant \vert a_n - a\vert$.

Bemerkung 2.1.16   Für $a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2 \in \mathbb{R}$ gilt

1. $\max\{ a_1+a_2, b_1+b_2 \} \leqslant \max\{ a_1,b_1 \} +\max\{ a_2,b_2 \}$.
2. $\max\{ a_0,b_0 \} - \max\{ a_1,b_1 \} \leqslant \max\{a_0-a_1,b_0-b_1 \}$.
3. $\bigl\vert\max\{ a_0,b_0 \} - \max\{ a_1,b_1 \}\bigr\vert \leqslant \max\{\vert a_0-a_1\vert,\vert b_0-b_1\vert \}$.

Beweis .

1. Offensichtlich.

2. Setzt man in 1.) $a_2 :=a_0-a_1$ und $b_2 :=b_0 -b_1$ so folgt 2.).

3. Aus 2.) folgt
   $$\max\{ a_0,b_0 \} - \max\{ a_1,b_1 \} \leqslant \max\{\vert a_0-a_1\vert,\vert b_0-b_1\vert \}).$$
   und aus Symmetriegründen somit 3.).

Beispiele 2.1.17  

a)

$\frac{2-n+3n^2}{4+7n^2}\to\frac{3}{7}$.

b)

$\frac{n^5 2^n-4n^9+8}{2n-3^n}\to 0$.

c)

$\frac{7^n+2^n n!}{n^{n+1}+n^3}\to 0$.

d)

Für $\vert q\vert<1$ ist $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n q^k = \frac{1}{1-q}$.

Feststellung 2.1.18 (Grenzwerte von Ungleichungen)   Es seien $(a_n)_n$, $(b_n)_n$ konvergente Folgen in $\mathbb{R}$. Es gebe ein $k_0\in\mathbb{N}$, so daß für alle $k\geqslant k_0$ gilt

$$a_k\leqslant b_k$$   .$$$$

Dann ist

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n \leqslant \lim\limits_{n\to\infty}b_n.$$

Anmerkung: Aus $a_k < b_k$ folgt auch nur $\lim\limits_{n\to\infty}a_n \leqslant \lim\limits_{n\to\infty}b_n$.

Feststellung 2.1.19   Sei $(a_k)_k$ eine Folge in $\mathbb{R}$ mit $a_k\geqslant 0$ $({\scriptstyle k\in\mathbb{N}})$ und $s_n :=\sum_{k=1}^n a_k$, $({\scriptstyle n\in\mathbb{N}})$ die Folge ihrer Partialsummen. Dann gilt:

$$(s_n)_n$$   beschränkt$$\qquad\Rightarrow\qquad \lim_{n\to\infty}a_n = 0$$.$$$$

Anmerkung

1. Das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt, daß die Umkehrung nicht gilt.
2. Der Beweis wird durch Kontraposition geführt: Wenn $(a_n)_n$ keine Nullfolge ist, dann ist die Folge $(s_n)_n$ unbeschänkt.

Zur Vorbereitung des Beweises überlegen wir uns, was heißt es, daß eine Folge $(a_n)_n$ keine Nullfolge ist:

Bemerkung 2.1.20   Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Die Folge $(a_n)_n$ ist keine Nullfolge.
2. Es existiert ein $\varepsilon _0 > 0$ mit folgender Eigenschaft: Zu jedem $n\in \mathbb{N}$ gibt es eine natürliche Zahl $N\geqslant n$ mit $\vert a_{N}\vert > \varepsilon _0$.
3. Es gibt eine $\varepsilon _0 > 0$ und eine streng monoton wachsende Folge $(N_n)_n$ in $\mathbb{N}$, so daß
   $$\vert a_{N_n}\vert > \varepsilon _0$$   für alle $n\in \mathbb{N}$.$$$$

Beweis (von Feststellung ).

Annahme, die Folge $(a_n)_n$ konvergiert nicht gegen $0$. Dann gibt es ein $\varepsilon _0 > 0$ und eine streng monoton wachsende Folge $(N_n)_n$ in $\mathbb{N}$, so daß

$$\vert a_{N_n}\vert > \varepsilon _0$$   für alle $n\in \mathbb{N}$.$$$$

Daraus folgt, daß die Folge $(s_n)_n$ unbeschränkt ist:

$$s_{N_n} = \sum_{l=1}^{N_n} a_l \geqslant \sum_{k=1}^n a_{N_k} > n\varepsilon _0$$   für $n=1,2,\dots$.$$$$

Das folgende Korollar werden wir im Abschnitt Cauchy-Folgen wesentlich verschärfen (vgl. ). Dabei werden wir eine ähnliche Beweisidee verwenden.

Korollar 2.1.21   Es sei $(a_n)_n$ eine monotone, beschränkte Folge. Dann ist $\lim\limits_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n) = 0$.

Beweis . Ohne Einschränkung sei $(a_n)_n$ monoton wachsend und nach oben beschränkt. Man bilde die Folge $d_n :=a_{n+1}-a_n$, $({\scriptstyle n\in\mathbb{N}})$ und die Partialsummen $s_n = \sum_{k=1}^n d_k = a_{n+1}-a_1$. Da die Folge $(s_n)_n$ beschränkt ist, folgt $\lim\limits_{n\to\infty}d_n = 0$.