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Feststellung 2.1.10
Im Körper
reicht es, in der Grenzwertdefinition
als Vergleichwerte
nur rationale Zahlen
zu wählen.
Inbesondere reicht es, die Grenzwertbedingung nur für die
Werte
, (
), nachzuprüfen.
Die letzte Festellung ermöglicht induktive Beweise!
Bemerkung:
In . reicht es, daß
für fast alle
gilt
(vgl. ())
Feststellung 2.1.12
Konvergente Folgen sind beschränkt.
Beweis (c).
mit
Für
ist jeder Faktor
und somit:
Für
folgt:
.
Feststellung 2.1.14 (Einsperregel)
Es seien
,
,
Folgen in
.
Für fast alle
gelte
.
Ist dann
,
so ist auch
.
Beweis (Einsperregel). Da
und
, gilt
.
Für fast alle
gilt:
und folglich ist für fast alle
.
Also gilt nach
.
Anmerkung: Für keine der Aussagen gilt die Umkehrung.
Beweis (Rechenregeln für Grenzwerte). Wir führen mit Hilfe von
die Behauptungen auf die Regeln
für Nullfolgen
zurück:
-
.
-
.
- Zu
gibt es ein
, so daß
für
,
, gilt.
Für
,
erhalten wir:
und
.
-
.
-
.
Beweis .
- Offensichtlich.
- Setzt man in
1.)
und
so folgt 2.).
- Aus 2.) folgt
und aus Symmetriegründen somit 3.).
Beispiele 2.1.17
- a)
-
.
- b)
-
.
- c)
-
.
- d)
- Für ist
.
Feststellung 2.1.18 (Grenzwerte von Ungleichungen)
Es seien
,
konvergente Folgen in
.
Es gebe ein
, so daß für alle
gilt
.
Dann ist
Anmerkung: Aus folgt auch nur
.
Anmerkung
- Das Beispiel
der harmonischen Reihe zeigt, daß die Umkehrung nicht gilt.
- Der Beweis wird durch Kontraposition geführt: Wenn
keine Nullfolge ist, dann ist die Folge unbeschänkt.
Zur Vorbereitung des Beweises überlegen wir uns, was heißt es,
daß eine Folge keine Nullfolge ist:
Beweis (von Feststellung ).
Annahme, die Folge konvergiert nicht gegen .
Dann gibt es ein
und eine streng monoton wachsende Folge
in
, so daß
Daraus folgt, daß die Folge unbeschränkt ist:
Das folgende Korollar werden wir im Abschnitt Cauchy-Folgen
wesentlich verschärfen (vgl. ).
Dabei werden wir eine ähnliche Beweisidee verwenden.
Beweis . Ohne Einschränkung sei monoton wachsend und nach oben
beschränkt.
Man bilde die Folge
,
und die
Partialsummen
.
Da die Folge beschränkt ist, folgt
.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09