Allgemeine Grenzwertdefinition

Eng verwandt mit dem Begriff der Stetigkeit ist der Grenzwertbegriff für Funktionen auf allgemeinen Definitionsbereichen:

Definition 2.3.27 (Grenzwert einer Funktion)  

Gegeben seien:

eine nichtleere Menge $D\subseteq \mathbb{R}$ und ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $D$ gibt, die gegen $a$ konvergiert,

eine Funktion $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ und ein $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$.

Die Funktion $f$ konvergiert gegen $\ell$ für $x \rightarrow a$ , falls für jede Folge $(x_n)_n$ in $D$ aus $x_n \rightarrow a$ stets $f(x_n)\rightarrow \ell$ folgt.

Bezeichnung. Wir schreiben für obige Definition:
$\lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell$ oder $f(x) \to \ell$ für $x \to a$.

Bemerkung 2.3.28  

1. Ist $a \in D$ so existiert der Grenzwert für $x \to a$ genau dann, wenn $f$ stetig im Punkt $a$ ist. Dann ist $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$.
2. Diese Definition des allgemeinen Grenzwertes unterscheidet sich von dem traditionellen Grenzwertbegriff von Weierstraß. Dieser lautet:

   Gegeben seien:

   eine nichtleereMenge $D\subseteq \mathbb{R}$ und ein $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in   gibt, die gegen $a$ konvergiert,

   eine Funktion $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ und ein $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$.

   Die Funktion $f$ konvergiert gegen $\ell$ für $x \rightarrow a$ , falls für jede Folge $(x_n)_n$ in   aus $x_n \rightarrow a$ stets $f(x_n)\rightarrow \ell$ folgt.

   Ist $a \in D$, so kann bei diesem Grenzwertbegriff sehrwohl der Grenzwert für $x \to a$ existieren und $f$ dennoch unstetig in $a$ sein!

3. Für den traditionellen Grenzwertbegriff von Weierstraß vergleiche man das Schulbuch, [KABALLO, Band II] oder [KÖNIGSBERGER], für den moderneren, flexibleren Begriff siehe [DIEUDONNÉ], [FORSTER] oder [BRÖCKER].
4. Man kann den tradionellen Grenzwertbegriff durch Einschränkung der Funktion auf $D\setminus \{a\}$ ausdrücken:

   Bezeichnung. Wenn es eine Folge $(x_n)_n$ in $D\setminus \{a\}$ gibt, die gegen $a$ konvergiert und der Grenzwert der Einschränkung $f\vert _{D\setminus\{a\}}$ im Punkte $a$ existiert, dann bezeichnet man diesen Grenzwert mit:

   $$\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x\not= a}}f(x) :=\lim\limits_{x\to a}f\vert _{D\setminus\{a\}}(x)$$

5. Der Grenzwertbegriff ist so gewählt, daß der äußerst praktische Satz über die Komposition von Grenzwerten sich leicht formulieren läßt.:

Satz 2.3.29 (Komposition von Grenzwerten)  

Gegeben seien:

nichtleere Teilemengen $D$, $E\subseteq \mathbb{R}$, und $a\in \overline{\mathbb{R}}$, so daß es eine Folge $(x_n)_n$ in $D$ gibt, die gegen $a$ konvergiert,

eine Funktion $f:D \rightarrow E$ mit Grenzwert $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell_f \in \overline{\mathbb{R}}$ und eine Funktion $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ mit Grenzwert $\lim\limits_{y\to \ell_f}g(y) = \ell_g \in \overline{\mathbb{R}}$.

Dann gilt $\lim\limits_{x\to a}(g\circ f) (x) = \ell_g$.

Der Beweis des Satzes ist offensichtlich (vgl. Lemma )