Sprünge und Oszillationen

Wichtige Typen von Unstetigkeiten sind Sprünge und Oszillationen.

Beispiele 2.3.30  

1. Die Heaviside-Funktion $H:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ hat eine Sprungstelle bei 0, da $H(0^-)\neq H(0^+)$.
2. Im Falle monotoner Funktionen $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ besteht die Menge der Unstetigkeitsstellen
   $$\{x \in I\mid f$$    ist unstetig in $$x\}$$
   nur aus Sprungstellen.
3. Für die Gauß-Klammer-Funktion $G:x\mapsto [x]$ ist die Menge der Unstetigkeitsstellen gleich $\mathbb{Z}$.

4. Auf $[-1,1)$ definieren wir eine Funktion
   $$Z:x\mapsto 1-2\vert x\vert$$
   und setzen sie zu einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten $2$-periodischen Zackenfunktion fort:
   $$Z(x):=Z(x-2k)$$    für $x\in [2k-1,2k+1)$, $k \in \mathbb{Z}$,$$$$

   D. h. es gilt $Z(x)=Z(x+2)$ für alle $x \in \mathbb{R}$. Da $Z(-1)=Z(1-)$ gilt, ist $Z$ auf $\mathbb{R}$ stetig.

   Da $Z(2k)=1$ und $Z(2k+1)=-1$ für alle $k \in \mathbb{Z}$ gilt, existieren die Grenzwerte von $f(x)$ für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ nicht.

   Später werden wir statt der Zackenfunktion die $2\pi$-periodische Funktion $\cos(x)$ betrachten.

5. Mit der Zackenfunktion $Z$ können wir die Wackelfunktion $W:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ bilden:
   $$W(x):= \left\{ \begin{array}{ll} Z(\frac{1}{x}) &\mbox{ f\uml ur } x\neq 0\\ 0 &\mbox{ f\uml ur } x=0 \end{array}\right. \mbox{.}$$
   $W$ ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

   Die Wackelfunktion oszilliert links und rechts von 0.

   Die Grenzwerte von $W(x)$ für $x\uparrow 0$ und $x\downarrow$ existieren nicht.

   Auch durch Abänderung von $W(0)$ kann $W$ nicht zu einer in 0 (auch nur einseitig) stetigen Funktion gemacht werden.

6. Durch Dämpfung der Oszillation von $W$, z.B. durch Multiplikation mit $x$, entsteht eine stetige Funktion:
   $$x \mapsto xW(x)$$       für $$x\in\mathbb{R}$$.$$$$
   Da $\vert W(x)\vert \leq 1$ für alle $x \in \mathbb{R}$ ist, folgt aus $x_n \rightarrow 0$ stets $x_n W(x_n) \rightarrow 0$.
7. Später werden wir statt der Zackenfunktion die periodischen Funktionen $\cos(x)$ oder $\sin(x)$ betrachten.

   Die damit gebildeten Funktionen $\cos(\frac{1}{x})$ und $\sin(\frac{1}{x})$ verhalten sich wie die Wackelfunktion und sind ebenfalls nicht stetig in 0 fortsetzbar.

   Die Funktionen $x\cos(\frac{1}{x})$ und $x\sin(\frac{1}{x})$ sind dagegen stetig in $0$.

Es gibt auch Funktionen mit sehr vielen Unstetigkeitsstellen:

Beispiele 2.3.31 (Dirichlet-Funktion)  

1. Man definiert die Dirichlet-Funktion auf $\mathbb{R}$ durch
   $$D(x):= \left\{ \begin{array}{l} 0 \mbox{ f\uml ur } x\notin \mathbb{Q}\\ 1 \mbox{ f\uml ur } x \in \mathbb{Q}\end{array}\right.$$

2. Die Dirichlet-Funktion besitzt in keinem $a$ aus $\mathbb{R}$ einen Grenzwert. Insbesondere ist $D$ in jedem Punkt unstetig.

DIRICHLET, Peter, Gustav, Lejeune, 1805-1859

Beweis .

1. Zu $x \in \mathbb{Q}$ so bilde man die Folgen: (vgl. )
   $$r_n :=x+\frac{1}{n}\to x$$       und    $$x_n:=x+\frac{\sqrt{2}}{n} \to x$$.$$$$
   Es ist $D(r_n) = 1$ und $D(x_n) = 0$.

   Also hat die Funktion $D$ in keinem rationalen Punkt einen Grenzwert.

2. Wenn $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, so ist auch $x_n = \bigl(x+\frac{1}{n} \bigr) \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Die Folge irrationaler Zahlen $(x_n)_n$ konvergiert gegen $x$.

   Nach der Bemerkung gibt es eine Folge $(r_n)_n$ in $\mathbb{Q}$, die gegen $x$ konvergiert.

   Also hat die Funktion $D$ in keinem irrationalen Punkt einen Grenzwert.

Satz 2.3.32 (Rationale Approximation)  

Es sei $I\subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $x \in I$. Dann gibt es eine Folge $(r_n)_n$ rationaler Zahlen in $I$ die von unten gegen $x$ konvergiert:

$$r_n\in I\cap \mathbb{Q}, \quad r_n < x$$       und    $$r_n\to x$$   .$$$$

Beweis (Rationale Approximation). Fall $x > 0$: Zu jedem $n\in \mathbb{N}$, existiert ein $p_n \in \mathbb{N}_0$, so daß

$$p_n < nx \leqslant p_n+1$$

$$\Rightarrow\quad x-\frac{1}{n} \leqslant \frac{p_n}{n} < x$$

Die Folge $$r_n :=\Bigl(\frac{p_n}{n}\Bigr)_{n=1}^\infty$$ konvergiert gegen $x$.

Zu $c<x$, $c\in I$, gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, so daß

$$c < r_n < x$$       für $n\geqslant n_0$.$$$$

Die Folge $(r_n)_{n=n_0}^\infty$ leistet das Gewünschte.

Analog gibt es zu $x\geqslant 0$ eine Folge in $I\cap\mathbb{Q}$, die von oben gegen $x$ konvergiert. Im Fall $x\leqslant 0$ betrachte man $-x$.

Beispiele 2.3.33 (Stammbrüche)  

Auf $I=(0,1)$ definieren wir den Stammbruch:

$$B(x):= \left\{ \begin{array}{ccll} \frac{1}{q} &\mbox{f\uml ... ...mbox{f\uml ur}& x\not\in \mathbb{Q}\text{.} \end{array}\right.$$

Es gilt $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a\\ x\not=a}} B(x) = 0$ für alle $a\in I$.

Somit ist $B$ in den rationalen Punkten unstetig und in den irrationalen stetig.

Beweis . Es sei $\varepsilon >0$. Es gibt nur endlich viele $q\in\mathbb{N}$ mit $\frac{1}{q} \geqslant \varepsilon$. Zu diesen $q$ gibt es nur jeweils endlich viele $p\in\mathbb{N}$ mit $\frac{p}{q} \in I$. Also gibt es nur endlich viele Punkte $\{ r_1,\dots,r_n \}\subset I$, in denen $B(r_k) \geqslant \varepsilon$ ist.
Es ist

$$\delta :=\min \{ \vert r_k-a\vert \mid k=1,...,n \} > 0$$.$$$$

Für $x\in I \setminus \{a\}$ folgt aus $\vert x-a\vert<\delta$ stets $B(x) < \varepsilon$.