Anordnung

Wir arbeiten im allgemeinen nicht mit den Axiomen (O1)-(O3), sondern mit den entsprechenden Regeln für die Anordnung:

Definition 1.1.7 (Anordnung.)   Wir definieren eine Anordnung auf $\mathbb{R}$ durch

$$a<b \quad :\Leftrightarrow \quad b-a\in P$$

und führen die Notation

$$a>b \quad:\Leftrightarrow\quad b<a$$

ein.

Die Anordnung von $\mathbb{R}$ drückt sich geometrisch in der vertrauten Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden aus: Dabei bedeutet $a < b$, daß der Punkt $a$ links vom Punkt $b$ liegt.

Die Addition $x \mapsto x+b$ wird zur Verschiebung (Translation) um die Strecke $b$ und die Multiplikation $x \mapsto xb$ mit einem $b>0$ zur Streckung um den Faktor $b$.

Man veranschauliche sich die geometrische Aussage der folgenden Regeln.

Feststellung 1.1.8 (Rechenregeln für Ungleichungen.)  

1. $a \in P \Leftrightarrow a > 0$.
2. Für beliebige reelle Zahlen $a,b$ gilt genau eine der drei Relationen
   $$a<b$$   ,$$\quad a=b$$   ,$$\quad a > b.$$

3. Aus $a < b$ und $b<c$ folgt $a<c$ (Transitivität der Anordnung.)

4.    Aus $$a<b$$    folgt $$\left\{ \begin{array}{ll} a+c < b+c & \mbox{f\uml {u}r jedes ... ...{1}{b} < \frac{1}{a}& \mbox{falls } a>0\\ \end{array}\right.$$

5. Man kann Ungleichungen addieren:
      Aus $$a<b$$    und $$c<d$$    folgt $$a+c < b+d.$$

6. Ungleichungen zwischen positiven Zahlen kann man multiplizieren:
      Aus $$0<a<b$$    und $$0<c<d$$    folgt $$ac<bd.$$

7. Es seien $n\in \mathbb{N}$ und $0<a$, $0<b$. Dann gilt
   $$a < b \quad\Leftrightarrow\quad a^n < b^n.$$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KÖNIGSBERGER, S. 8].

Bezeichnung 1.1.9   Wir führen eine abkürzende Bezeichnung ein:

$$b\leq a \quad :\Leftrightarrow \quad b<a$$    oder $$b=a$$

und entsprechend

$$a\geq b \quad:\Leftrightarrow\quad b\leq a.$$

Bemerkung 1.1.10 (zur Relation $\leq$)  

1. Für beliebige reelle Zahlen $a,b$ ist

      entweder$$\quad a\leq b$$   oder$$\quad a > b.$$

2. Die Aussage $a\leq b$ ist die Negation der Aussage $b<a$.

   Man kann eine Aussage $a\leq b$ beweisen, indem man den die Annahme $b<a$ zu einem Widerspruch führt

3. Aus $a\leq b$ und $b\geq a$ folgt $a=b$ (Antisymmetrie).

   Diese Schlußweise wird häufig benutzt, um kompliziertere Identitäten zu beweisen, die man nicht durch durch einfaches Anwenden von Formeln erhalten kann.

4. Wenn
   $$a \leq b+\varepsilon$$   $$\varepsilon > 0$$
   gilt, dann ist
   $$a\leq b.$$
   Wenn man den Punkt $b$ ein wenig nach rechts rückt, läßt sich die Abschätzung oft leichter zeigen