Es seien , nichtausgeartete Intervalle und eine streng monoton wachsende Funktion mit Umkehrfunktion .
Dann sind und stetig.
Anmerkung
Beispiele
Beweis (Stetigkeit der Umkehrfunktion).
Wir zeigen die Stetigkeit der Umkehrfunktion (vgl. Satz ).
Es seien , und . Es sei der linke Endpunkt von und der rechte Endpunkt. Man setze
und somit .
Aus Satz und Korollar folgt nun:
Sei ein Intervall und eine stetige und streng monotone Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion stetig, wobei .
Wir betrachten zunächst den Fall .
Wenn , so ist streng monoton wachsend.
Beweis . Annahme: ist nicht strikt monoton wachsend:
Dann gibt es Punkte , mit und . Da injektiv, ist . Wir unterscheiden zwei Fälle:
Da , widerspricht das der Injektivität von .
Da , widerspricht das der Injektivität von .
Beweis . Wähle , mit .
Wir zeigen, wenn , dann ist streng monoton wachsend:
Seien , mit . Man setze
Nach dem vorangehenden Lemma ist die Einschänkung entweder streng monoton wachsend oder fallend, je nachdem ob oder ist.
Da und ist, muß die Einschränkung streng monoton wachsend sein.
Da ist, folgt .Wenn ist, folgt analog, daß streng monoton fallend ist.
Beispiel (Logarithmus).
Für , ist die Exponentialfunktion zur Basis :
Für , ist die Exponentialfunktion zur Basis :
Es sei , . Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis heißt Logarithmus zur Basis :
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus oder kurz der Logarithmus und wird mit
Mathematiker schreiben meistens , Physiker und Ingenieure .
Anmerkung. Wir werden noch weitere wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion und des Logarithmus in den folgenden Kapiteln kennenlernen.