Limes superior

Bemerkung. Zu jeder Folge reeller Zahlen kann man den Limes superior oder oberen Grenzwert und den Limes inferior oder unterne Grenzwert in $\overline{\mathbb{R}}$ bilden.

Diese beiden Begriffe bilden ein mächtiges Hilfsmittel, um viele Konvergenzaussagen kurz und knapp zu formulieren und auch zu beweisen. Es erfordert aber einige Übung, bis man mit diesem Werkzeug umgehen kann.

In der Lehrbuchliteratur wird der Limes superior bzw. inferior unterschiedlich eingeführt. Diese Definitionen sind alle äquivalent.

Wir wählen eine eher technische, dafür aber leicht anwendbare Definition, und leiten dann die dazu äquivalenten, anschaulicheren Eigenschaften her. (), und .

Zu einer nach oben beschränkten Folge $(a_n)_n$ bilde man zu jedem $n\in \mathbb{N}$ die Zahl $s_n :=\sup\limits_{k\geqslant n} a_k$. Die Folge $(s_n)_n$ ist monoton fallend.

Definition 2.7.12 (Limes superior)  

Es sei $(a_n)$ eine nach oben beschränkte Folge in $\mathbb{R}$. Man bilde die monoton fallendende Folge $(s_n)_n$ durch die Vorschrift:

$$s_n :=\sup\limits_{k\geqslant n} a_k$$   .$$$$

Der in $\overline{\mathbb{R}}$ gebildete Grenzwert (vgl. Satz und Def. )

$$s :=\lim\limits_{n\to\infty} s_n \in \mathbb{R}\cup \{-\infty\}$$

heißt Limes superior der Folge $(a_n)_n$ und wird mit

$$\limsup\limits_{n\to\infty} a_n :=s$$

bezeichnet.

Bemerkung und Bezeichnung 2.7.13  

1. Eine andere übliche Bezeichnung ist
   $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}} a_n :=\limsup_{n\to\infty} a_n$$   .$$$$

2. Für $n\in \mathbb{N}$ nennen wir die Teilfolge $(a_k)_{k=n}^\infty$ ein Endstück der Folge $(a_n)_n$. Der Limes superior ist also das Infimum der Suprema der Endstücke:
   $$\limsup_{n\to\infty} a_n = \inf \{ c \mid c\in \mathbb{R},\ c\geqslant a_n$$    für fast alle $n\in \mathbb{N}$.$$\}$$

3. Man kann sich überlegen, daß die Folge $(s_n)_n$ die kleinste monoton fallende Folge oberhalb der gegebenen Folge $(a_n)_n$ ist. Wir beweisen dies nicht explizit, diese Idee steckt habe hinter vielen Beweisen zu den Eigenschaften des Limes superior.

Bemerkung. Analog bildet man den Grenzwert der Infima der Endstücke und nennt ihn den Limes inferior der Folge.

Definition 2.7.14 (Limes inferior)  

Es sei $(a_n)$ eine nach unten beschränkte Folge in $\mathbb{R}$. Man bilde die monoton wachsende Folge

$$u_n :=\inf\{ a_k \mid k\in \mathbb{N}, \ k\geqslant n \}$$.$$$$

Der in $\overline{\mathbb{R}}$ gebildete Grenzwert (vgl. Satz und Def. )

$$u :=\lim\limits_{n\to\infty} u_n \in \mathbb{R}\cup \{\infty\}$$

heißt Limes inferior der Folge $(a_n)_n$ und wird mit

$$\liminf\limits_{n\to\infty} a_n :=u$$

bezeichnet.

Bemerkung 2.7.15   Es gilt $\liminf\limits_{n\to\infty} a_n = - \limsup\limits_{n\to\infty} (-a_n)$

Für den Limes superior gibt es das folgende $\varepsilon$-Kriterium:

Feststellung 2.7.16   Es seien $(a_n)$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}$ und $s \in\mathbb{R}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1.

$s = \limsup\limits_{n\to\infty} a_n$.

2.

Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $n\in \mathbb{N}$, so daß für alle $m \in \mathbb{N}$ aus $m\geqslant n$ stets folgt:

(i)

$a_m < s+\varepsilon$

(ii)

Es gibt ein $k\in\mathbb{N}$, $k\geqslant m$, mit $a_k > s-\varepsilon$.

Bemerkung Verschärft man 2.(ii) zu

$$a_m > s-\varepsilon$$   für alle $m>n$,$$$$

so erhält man die übliche Definition des Grenzwertes einer Folge $(a_n)_n$.

Beweis .

Es ist $s_n :=\sup\limits_{k\geqslant n} a_k$ und $s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n$. Zu $\varepsilon >0$ gibt es ein $n\in \mathbb{N}$ mit $s \leqslant s_l < s+\varepsilon$ für alle $l \geqslant n$. Für $m\geqslant n$ folgt

$$a_m \leqslant s_n < s+\varepsilon$$   .$$$$

Da $s \leqslant s_m :=\sup\limits_{k\geqslant m} a_k$ ist, gibt es ein $k\geqslant m$ so, daß $s-\varepsilon < a_k$ ist.

Aus (i) folgt:

$$\sup\limits_{k\geqslant m} a_k \leqslant s+\varepsilon \quad\Rightarrow\quad \limsup_{n\to\infty} a_n \leqslant s+\varepsilon$$   .$$$$

Aus (ii) folgt:

$$\sup\limits_{k\geqslant m} a_k \geqslant s-\varepsilon \quad\Rightarrow\quad \limsup_{n\to\infty} a_n \geqslant s-\varepsilon$$   .$$$$

Da $\varepsilon >0$ beliebig ist, folgt $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n = s$.

Bemerkung Für beschränkte Folge reeller Zahlen liegen der Limes superior und der Limes inferior in $\mathbb{R}$. Man kann mit ihrer Hilfe Aussagen über beliebige beschränkte Folgen formulieren:

Satz 2.7.17   Es sei $(a_n)_n$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}$. Dann gilt

$$\qquad \liminf\limits_{n\to\infty} a_n \leqslant \limsup\limits_{n\to\infty} a_n$$

$$\qquad \liminf\limits_{n\to\infty} a_n = \limsup\limits_{n\to\infty} a_n \quad\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{n\to\infty} a_n$$

Im Fall der Gleichheit (2.) ist

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n =\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$$   .$$$$

Beweis .

1. Für alle $n\in \mathbb{N}$ ist $\ u_n: = \inf\limits_{k\geqslant n} a_k \leqslant \sup\limits_{k\geqslant n} a_n =: s_n \$ und folglich
   $$\liminf\limits_{k\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} u_n \leqslant \lim\limits_{n\to\infty} s_n = \limsup\limits_{k\to\infty} a_n$$

2. 

   Für $n\in \mathbb{N}$ ist $\ u_n: = \inf\limits_{k\geqslant n} a_k \leqslant a_n \leqslant \sup\limits_{k\geqslant n} a_n =: s_n \$. Daher gilt:

   $$\lim\limits_{n\to\infty} u_n = \lim\limits_{n\to\infty} s_n \quad\Rightarrow\quad \lim\limits_{n\to\infty} s_n = \lim\limits_{n\to\infty} a_n$$   .$$$$

   

   Es gelte $a_n \to c \in\mathbb{R}$. Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $n\in \mathbb{N}$, so daß

   $$c-\varepsilon < a_m < c+ \varepsilon$$   für alle $m\geqslant n$, $m \in \mathbb{N}$.$$$$

   Dann ist $\ c-\varepsilon \leqslant u_m \leqslant s_m \leqslant c+\varepsilon \$ für alle $m\geqslant n$ und folglich ist $\lim\limits_{n\to\infty} u_n = \lim\limits_{n\to\infty} s_n = c$.

Bezeichnung 2.7.18  

Für eine nach oben unbeschränkte Folge setzt man

$$\limsup\limits_{n\to\infty} a_n :=\infty$$   .$$$$

Für eine nach unten unbeschränkte Folge setzt man

$$\liminf\limits_{n\to\infty} a_n :=-\infty$$.$$$$

Bemerkung. Für jede Folge $(a_n)_n$ gilt also

1.     $\liminf\limits_{n\to\infty} a_n \leqslant \limsup\limits_{n\to\infty} a_n$

2.     $\limsup\limits_{n\to\infty} \vert a_n\vert :=\infty \quad\Leftrightarrow\quad (a_n)_n$    ist unbeschränkt.$$

Bemerkung 2.7.19   Es sei $(a_n)$ eine nach oben beschränkte Folge in $\mathbb{R}$. Dann gilt:

$$\limsup\limits_{n\to\infty} a_n = -\infty \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$$   .$$$$

Dann gilt auch $\liminf\limits_{n\to\infty} a_n = -\infty$.

Aus Satz und Bemerkung folgt:

Feststellung 2.7.20   Für jede Folge $(a_n)_n$ in $\mathbb{R}$ gilt:

$$\liminf\limits_{n\to\infty} a_n = \limsup\limits_{n\to\infty} a_n \quad\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{n\to\infty} a_n \in \overline{\mathbb{R}}$$    existiert.$$$$

Dann ist $\ \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \limsup\limits_{n\to\infty} a_n$.

Beweis der Bemerkung .

Da

$$a_n \leqslant \sup\limits_{k\geqslant n} a_k = s_n$$

ist, folgt aus $s_n\to -\infty$, daß $a_n\to-\infty$.

Wenn $a_n\to-\infty$, dann gibt es zu jedem $K>0$ ein $n\in \mathbb{N}$, so daß für alle $m \in \mathbb{N}$ aus $m\geqslant n$ stets

$$a_m < -K$$

folgt. Also ist für $m\geqslant n$ stets

$$s_m :=\sup\limits_{k\geqslant m} a_k \leqslant -K$$

und folglich $s_n\to -\infty$.

Satz 2.7.21 (Obere Häufungswert)  

Es sei $(a_n)$ eine nach oben beschränkte Folge in $\mathbb{R}$.

Wenn $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n > -\infty$ ist, dann ist $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ der größte Häufungswert der Folge $(a_n)_n$.

Bemerkung. Dieser Satz wird in vielen Lehrbüchern als Definition des Limes Superior verwendet:

1. Wenn eine nach oben beschränkte Folge $(a_n)_n$ einen Häufungswert hat, dann hat sie einen größten Häufungswert und dieser ist gleich $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$.
2. Der obige Satz gibt eine Verschärfung des Satzes von Bolzano-Weierstraß: Eine nach oben beschränkte Folge $(a_n)_n$ strebt entweder gegen $-\infty$ oder sie enthält eine Teilfolge, die gegen den größten Häufungswert der Folge $(a_n)_n$ konvergiert.

Beweis . 1. Man setze $s_n :=\sup\limits_{k\geqslant n} \{ a_k \}$. Es sei $s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n = \limsup\limits_{n\to\infty} a_n > -\infty$. Wir bilden rekursiv eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ mit folgender Eigenschaft:

$$s_{n_k +1}-\frac{1}{n_k +1} < a_{n_{k+1}} \leqslant s_{n_k +1}$$   für $k\in\mathbb{N}_0$. $$\qquad (\star)$$

Es sei $n_0 = 0$.

Es seien bereits $n_0 < n_1<\dots<n_k$ in $\mathbb{N}$ so konstruiert, daß $(\star)$ für $\kappa = 0,\dots,k-1$ gilt. Nach Definition von $s_{n_k}$ gibt es ein kleinste natürliche Zahl $n_{k+1} \in \mathbb{N}$, $n_{k+1} \geqslant n_k+1$, so daß $(\star)$ für $k$ gilt.

Da $\frac{1}{n_k} \to 0$, konvergiert die Teilfolge $(a_{n_k})_k$ gegen $s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n$.

2. Wenn $(a_{n_k})_k$ eine konvergente Teilfolge ist, so gilt

$$a_{n_k} \leqslant \sup\limits_{m>n_k} a_m = s_{n_k}$$   .$$$$

Feststellung 2.7.22 ( Limes superior ist subadditiv)  

Es seien $(a_n)_n$ und $(b_n)_n$ nach oben beschränkte Folgen in $\mathbb{R}$ und $c>0$. Dann gilt:

1. $\limsup\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) \leqslant \limsup\limits_{n\to\infty} a_n + \limsup\limits_{n\to\infty} b_n$.
2. $\limsup\limits_{n\to\infty} (c\, a_n) = c\, \limsup\limits_{n\to\infty} a_n$.