Monotone Folgen

Jedem Satz über monotone Folgen entspricht ein Satz über Reihen mit nichtnegativen Summanden und umgekehrt.

Satz 2.2.11 (Reihen mit nichtnegativen Summanden)  

Es sei $(a_n)_n$ eine Folge mit nichtnegativen Gliedern. Wenn die Folge der Partialsummen $s_n :=\sum_{k=1}^n a_k$ nach oben beschränkt ist, dann existiert der Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty}s_n$.

Beweis . Wir zeigen, daß die Folge $(s_n)_n$ eine Cauchy-Folge ist.

Annahme:

$(s_n)_n$ ist keine Cauchy-Folge. Dann gibt es ein $\varepsilon _0 > 0$, so daß es zu jedem $n\in \mathbb{N}$ zwei Indices $l,m \geqslant n$ gibt mit

$$\vert s_m -s_l\vert \geqslant \varepsilon _0$$   .$$$$

Es sei etwa $m\geqslant l\geqslant n$. Da die Summanden $a_k\geqslant 0$ sind, folgt:

$$\sum_{k=n}^m a_k \geqslant \sum_{k=l}^m \geqslant \varepsilon _0$$.$$$$

Man kann nun rekursiv eine streng monoton wachsende Folge $N_n$, ( $N\in\mathbb{N}_0$), natürlicher Zahlen mit Startwert $N_0 = 0$ angeben, so daß

$$\sum_{k=N_{n-1}+1}^{N_n} a_k \geqslant \varepsilon _0$$   für $n=1,2,\dots$$$$$

Dann ist aber die Folge $(s_{N_n})$, ( $n\in\mathbb{N}$), unbeschränkt:

$$s_{N_n} = \sum_{k=1}^{N_n}a_k = \sum_{l=1}^n\sum_{{k=N_{l-1}}+1}^{N_l} a_k \geqslant n\varepsilon _0.$$

Widerspruch. Die Folge $(s_n)_n$ ist also eine Cauchy-Folge.

Satz 2.2.12   Monotone beschränkte Folgen in $\mathbb{R}$ sind konvergent.

Beweis . Die Folge $(a_n)_n$ sei monoton wachsend und nach oben beschränkt. Die Folge $a_{n+1}-a_n$, ( $n\in\mathbb{N}$), ist nichtnegativ und folglich ist nach Satz die Folge der Partialsummen $$\sum_{k=1}^n (a_{n+1}-a_n)$$ konvergent.

Dann gilt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a_1 + \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)$$   .$$$$

Für monoton fallende, nach unten beschränkte Folgen $(a_n)_n$ existiert $\lim\limits_{n\to\infty}(-a_n)$ und folglich nach den Rechenregeln auch

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = -\lim\limits_{n\to\infty}(-a_n)$$.$$$$