Häufungswerte von Folgen

Definition 2.7.8   Es sei $(a_n)_n$ eine Folge in $\mathbb{R}$. Eine Zahl $h \in \mathbb{R}$ heißt ein Häufungswert der Folge $(a_n)_n$, wenn es eine Teilfolge von $(a_n)_n$ gibt, die gegen $h$ konvergiert.

Beispiel.

1. Die Folge $((-1)^n)_n$ hat die Häufungswerte $1$ und $-1$.
2. Für die Folge im Beispiel ist die Menge der Häufungswerte das Intervall $[0,1]$.

Bemerkung 2.7.9 (Existenz von Häufungswerten)  

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat jede beschränkte Folge mindestens einen Häufungswert.

Bemerkung. Für eine konvergente Folge ist der Grenzwert der einzige Häufungswert. Es gilt auch die Umkehrung:

Satz 2.7.10   Eine beschränkte Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nur einen Häufungswert hat.

Korollar 2.7.11   Eine beschränkte Folge konvergiert genau dann gegen einen $c \in \mathbb{R}$, wenn jede ihrer Teilfolgen eine Teilfolge hat, die gegen $c$ konvergiert.

Beweis des Satzes .

Klar.

Die Folge $(a_n)_n$ sei beschränkt und habe genau einen Häufungswert $c \in \mathbb{R}$.

Annahme: Die Folge konvergiert nicht gegen $c$. Es gibt also es ein $\varepsilon _0 > 0$, so daß es zu jedem $N\in\mathbb{N}$ ein $n\in \mathbb{N}$, $n>N$, existiert, für das $\vert a_n-c\vert\geqslant \varepsilon _0$ ist.

Es gibt eine Teilfolge $(a_{n_k})_{\scriptscriptstyle k}$, so daß (vgl. (3.))

$$\vert a_{n_k} -c\vert\geqslant \varepsilon _0$$   für $k\in\mathbb{N}$.$$$$

Da die Folge $(a_{n_k})_{\scriptscriptstyle k}$ beschränkt ist, hat sie eine konvergente Teilfolge, die einen anderen Grenzwert als $c$ hat.

Beweis des Korollars .

Aus der Vorausetzung des Korollars erhält man, daß jede konvergente Teilfolge der gegebenen Folge gegen $c$ konvergiert.