Beweis . Da die Folge gleichmäßig auf gegen konvergiert, gilt das Cauchy-Kriterium
Nach dem Reißverschlußprinzip konvergiert für jede andere Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert, die Folge der Integrale gegen den gleichen Grenzwert.
Bemerkung. Nach Satz gibt es zu jeder Regelfunktion auf einem kompakten Intervall eine Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert.
Nach Feststellung konvergiert die Folge der Integrale gegen einen Grenzwert, der unabhängig von der gewählten Folge von Treppenfunktionen ist.
Wir definieren diesen Grenzwert als Integral von :
Es sei eine Regelfunktion. Man erklärt das Integral von als Grenzwert der Integrale einer Folge von Treppenfunktionen, die auf gleichmäßig gegen konvergiert:
Beweis .
Dann ist und folglich
1. Eine Funktion , die nur in endlich vielen Punkten einen Wert ungleich Null hat, ist eine Treppenfunktion mit .
2. Es sei . Ändert man in endlich vielen Punkten beliebig ab, so ändert sich der Wert des Integrals nicht:
Bemerkung. Unter einer Tranlation versteht man die Abbildung
An der Eichungsformel sieht man, daß das Integral einer Treppenfunktion invariant unter Tranlationen ist. Dies überträgt sich dann auf Regelfunktionen:
Bemerkung. Eine affine Funktion hat die Form
Gegeben sei eine affine Funktion , mit Konstanten , , , ein kompaktes Intervall und . Für gilt:
Beweis . Es reicht die Transformationsformel für Treppenfunktionen zu zeigen. Durch Grenzwertbildung folgt sie dann für Regelfunktionen.
Wegen der Intervall-Additivität des Integrals reicht es, die Formel für konstante Funktionen zu zeigen.
Es sei .
Wir betrachten zunächst den Fall . Dann ist und es gilt