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Bemerkung. Man veranschauliche die Aussage des folgenden
Satzes und auch den Beweis mit einer Zeichnung.
Satz 3.1.37 (Integral der Umkehrfunktion)
1. Es sei
stetig und streng monoton
wachsend mit Umkehrfunktion
.
Dann gilt
.
2.
Wenn
streng monoton fallend ist gilt die obige Formel für die
Umkehrfunktion
:
.
Beweis . 1: streng monoton wachsend:
Es seien
,
,
.
Man erhält eine Einteilung
des Bildes.
Man addiere die Riemannschen Summen von und :
Für eine Folge von Einteilung von , deren
Feinheit
, konvergiert auch die Feinheit
der Bildeinteilung
.
So folgt die Formel für die Integrale.
2: streng monoton fallend:
Es seien
,
,
.
Man erhält eine Einteilung
von
.
Man subtrahiere die Riemannschen Summen von
und :
Also gilt die behauptete Gleichung (2.).
Beispiele 3.1.38
Für
gilt:
.
Beweis . Für und gilt
,
und somit
Da
ist, folgt
.
Übung.
- Nun folgt induktiv
usw.
Und schließlich
für
.
- Man folgere aus (1.), daß
für
.
- Man folgere aus
, daß
.
D.h.
.
-
für
.
-
für
.
Satz 3.1.39 (Integral der Exponentialfunktion)
Für
gilt
Bemerkung. Die Exponentialfunktion
ist ein unbestimmtes Integral von sich selbst.
Man schreibt abkürzend:
.
Beweis . Für und
gilt
Also folgt
.
Im Fall gilt eine analoge Rechnung für :
Beispiele 3.1.40 (Approximation der Exp.-Funktion)
Durch partielle Integration erhalt man
Da
folgt
(vgl.
)
.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09