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Partielle Integration

Bezeichnung 3.1.33 (Differenz der Randwerte)  

Für zwei Funktionen $ F $, $ G:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ bezeichne

$\displaystyle F\,G\,\bigr\vert _a^b :=F(b)G(b)-F(a)G(a)$   .$\displaystyle $

Satz 3.1.34 (Partielle Integration)  

Gegeben seien $ f$, $ g\in\mathcal{R}([a,b]) $ und Stammfunktionen $ F $ von $ f$ und $ G $ von $ g $. Dann gilt

$\displaystyle \textstyle
\int\limits_{[a,b]} F\,g
= F\,G\,\bigr\vert _a^b - \int\limits_{[a,b]} f\,G
$

Bemerkung. Die Formel der partiellen Integration gilt für beliebige, fest gewählte Stammfunktionen $ F $ von $ f$ und $ G $ von $ g $ (vgl. Definition [*]).

Bemerkung.

  1. Es reicht, die partielle Integration für Treppenfunktionen zu zeigen. Durch Grenzwertbildung folgt sie dann für Regelfunktionen.
  2. Es sei $ f$ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $ F $ und $ g $ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $ G $.

    Nach Bemerkung [*] kann man die Treppenfunktionen $ f$ und $ g $ in den Sprungstellen abändern, ohne die Stammfunktionen und die Werte der Integrale

    $\displaystyle \int\limits_{[a,b]}F\,g$   und$\displaystyle \quad
\int\limits_{[a,b]}g\,F
$

    zu ändern.

    Wir können für den Beweis also ohne Einschränkung annehmen, daß $ f$ rechtsseitig und $ g $ linksseitig stetig ist.

Beweis . Es sei $ f$ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $ F $ und $ g $ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $ G $.

Nach der Vorbemerkung können wir ohne Einschränkung annehmen, daß $ f$ rechtsseitig und $ g $ linksseitig stetig ist.

Die Integrale $ \int_{[a,b]}Fg $ und $ \int_{[a,b]} fG $ approximiert man durch Riemannscher Summen zu Zerlegungen

$\displaystyle Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}
$   ,$\displaystyle $

deren Feinheit $ d(Z) $ hinreichend klein ist (vgl. Satz [*]).

Man kann die Zerlegungspunkte zugleich als Stützpunkte wählen.

Zu $ \varepsilon >0$ gibt es eine $ \delta>0$, so daß aus $ d(Z)<\delta $ stets folgt:

$\displaystyle \textstyle \bigl\vert \int\limits_{[a,b]}F\,g - \sum_{\varkappa=1...
...arkappa)g(x_\varkappa) \,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}) \bigr\vert < \varepsilon$    
$\displaystyle \textstyle \bigl\vert \int\limits_{[a,b]}f\,G - \sum_{\varkappa=1...
...-1})G(x_{\varkappa-1}) \,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}) \bigr\vert < \varepsilon$    

Man kann ohne Einschränkung solche Zerlegungen $ Z$ wählen, auf deren offenenen Teilintervallen $ f\vert(x_{\varkappa-1},x_\varkappa) $ und $ g\vert(x_{\varkappa-1},x_\varkappa) $ konstant sind, anderenfalls füge man die Sprungstellen von $ f$ und $ g $ als weitere Zerlegungspunkte hinzu.

Da $ f$ rechtsseitig und $ g $ linksseitig stetig ist, folgt:

$\displaystyle f(x_{\varkappa-1})$ $\displaystyle = f(x_{\varkappa-1}^+)$    
$\displaystyle <tex2html_comment_mark>402 g(x_{\varkappa})$ $\displaystyle = g(x_{\varkappa}^-),$    
$\displaystyle F(x_\varkappa) - F(x_{\varkappa-1})$ $\displaystyle \textstyle = f(x_{\varkappa-1})\,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}),$    
$\displaystyle \textstyle G(x_\varkappa) - G(x_{\varkappa-1})$ $\displaystyle \textstyle = g(x_{\varkappa})\,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}).$    

Für eine solche Zerlegung folgt durch partielle Summation:

  $\displaystyle \sum_{\varkappa=1}^k F(x_\varkappa)g(x_\varkappa) \,(x_\varkappa ...
...a-1}) = \sum_{\varkappa=1}^k F(x_\varkappa) (G(x_\varkappa)-G(x_{\varkappa-1}))$    
  $\displaystyle = \sum_{\varkappa=1}^k F(x_\varkappa)G(x_\varkappa) - \sum_{\varkappa=0}^{k-1} F(x_{\varkappa+1})G(x_\varkappa)$    
  $\displaystyle = F(x_k)G(x_k) - F(x_0)G(x_0) + \sum_{\varkappa=0}^{k-1}(F(x_\varkappa)- F(x_{\varkappa+1}))G(x_\varkappa)$    
  $\displaystyle = F\,G\,\bigr\vert _a^b - \sum_{\varkappa=1}^{k}(F(x_\varkappa)- F(x_{\varkappa-1}))G(x_{\varkappa-1})$    
  $\displaystyle = F\,G\,\bigr\vert _a^b - \sum_{\varkappa=1}^{k} f(x_{\varkappa-1}) G(x_{\varkappa-1}) \;(x_\varkappa-x_{\varkappa-1})$    

Also ist         $ \textstyle
\int\limits_{[a,b]} F\,g
= F\,G\,\bigr\vert _a^b - \int\limits_{[a,b]} f\,G
$.

Beispiele 3.1.35 (Integral der Potenzfunktion $ x^n $)  

Wir berechnen induktiv die Stammfunktionen zu den Potenzen $ x^n $:

$\displaystyle \int_0^x \xi^n\,d\xi = \frac{x^{n+1}}{n+1}$   für $ n\in\mathbb{N}_0$.$\displaystyle $

Beweis .

\fbox{\( n=0 \):}
     $ \displaystyle
\int_0^x 1\,d\xi = x$.$ $
\fbox{\( n\Rightarrow n+1 \):}
     $ \displaystyle
\int_0^x \xi^{n+1}\cdot 1\,d\xi
= \xi^{n+1}\cdot \xi\bigr\vert _0 ^x
-\int_0^x (n+1)\xi^n\cdot \xi\,d\xi
$.

Daraus folgt

$\displaystyle (n+2) \int_0^x \xi^{n+1}\,d\xi = x^{n+2}$.$\displaystyle $

Bezeichnung. Eine Funktion $ F $ heißt unbestimmtes Integral einer Funktion $ f$, wenn für alle $ x_0 $, $ x_1 $ im Definitionsbereich von $ F $ und $ f$ gilt:

$\displaystyle \int_{x_0}^{x_1} f(x)\,dx = F(x_1) -F(x_0)
$

Solche unbestimmten Integrale sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Man schreibt abkürzend

$\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x) + C$.$\displaystyle $

Es gilt also für ein unbestimmtes Integral $ F $ von $ f$:

$\displaystyle F(x) = F(x_0) + \int_{x_0}^x f(\xi)\,d(\xi)$.$\displaystyle $

Offensichtlich gilt die Formel der partiellen Integration für alle unbestimmten Integrale $ F $ von $ f$ und $ G $ von $ g $:

$\displaystyle \textstyle
\int\limits_{[a,b]} F\,g + \int\limits_{[a,b]} f\,G
= F\,G\,\bigr\vert _a^b
$

Beispiel.

$\displaystyle \int x^{-n}\,dx = \frac{1}{-n+1}\,x^{-n+1}$   für $ n=2,3\dots $.$\displaystyle $

Beweis .
\fbox{\( n=2 \):}
Vgl. Bsp. [*](3.)      $ \displaystyle
\int_1^x \frac{1}{x^2}\,d\xi = 1-\frac{1}{x}$.$ $
\fbox{\( n\Rightarrow n+1 \):}
    

$\displaystyle \displaystyle$ $\displaystyle \int_1^x \xi^{-(n+1)}\,d\xi = \int_1^x \xi^{-n+1} \xi^{-2}\,d\xi$    
  $\displaystyle = -\xi^{-n+1}\cdot \xi^{-1}\bigr\vert _1 ^x - \int_1^x (n-1)\xi^{-n}\cdot \xi^{-1}\,d\xi$   .    

Daraus folgt

$\displaystyle -n \int_0^x \xi^{-(n+1)}\,d\xi = 1-x^{n+2}$.$\displaystyle $

Beispiele 3.1.36   $ \int_1^x \log \xi\,d\xi = x \log x -x $.

$\displaystyle \int_1^x \log \xi\cdot1 \,d\xi = \log(\xi)\,\xi\bigr\vert _1^x
-\int_1^x \frac{1}{\xi}\cdot \xi \,d\xi
= x\log x -(x-1)$   .$\displaystyle $


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09