Partielle Integration

Bezeichnung 3.1.33 (Differenz der Randwerte)  

Für zwei Funktionen $F$, $G:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ bezeichne

$$F\,G\,\bigr\vert _a^b :=F(b)G(b)-F(a)G(a)$$   .$$$$

Satz 3.1.34 (Partielle Integration)  

Gegeben seien $f$, $g\in\mathcal{R}([a,b])$ und Stammfunktionen $F$ von $f$ und $G$ von $g$. Dann gilt

$$\textstyle \int\limits_{[a,b]} F\,g = F\,G\,\bigr\vert _a^b - \int\limits_{[a,b]} f\,G$$

Bemerkung. Die Formel der partiellen Integration gilt für beliebige, fest gewählte Stammfunktionen $F$ von $f$ und $G$ von $g$ (vgl. Definition ).

Bemerkung.

1. Es reicht, die partielle Integration für Treppenfunktionen zu zeigen. Durch Grenzwertbildung folgt sie dann für Regelfunktionen.
2. Es sei $f$ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $F$ und $g$ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $G$.

   Nach Bemerkung kann man die Treppenfunktionen $f$ und $g$ in den Sprungstellen abändern, ohne die Stammfunktionen und die Werte der Integrale

   $$\int\limits_{[a,b]}F\,g$$   und$$\quad \int\limits_{[a,b]}g\,F$$
   zu ändern.

   Wir können für den Beweis also ohne Einschränkung annehmen, daß $f$ rechtsseitig und $g$ linksseitig stetig ist.

Beweis . Es sei $f$ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $F$ und $g$ eine Treppenfunktion mit Stammfunktion $G$.

Nach der Vorbemerkung können wir ohne Einschränkung annehmen, daß $f$ rechtsseitig und $g$ linksseitig stetig ist.

Die Integrale $\int_{[a,b]}Fg$ und $\int_{[a,b]} fG$ approximiert man durch Riemannscher Summen zu Zerlegungen

$$Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}$$   ,$$$$

deren Feinheit $d(Z)$ hinreichend klein ist (vgl. Satz ).

Man kann die Zerlegungspunkte zugleich als Stützpunkte wählen.

Zu $\varepsilon >0$ gibt es eine $\delta>0$, so daß aus $d(Z)<\delta$ stets folgt:

$$\textstyle \bigl\vert \int\limits_{[a,b]}F\,g - \sum_{\varkappa=1... ...arkappa)g(x_\varkappa) \,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}) \bigr\vert < \varepsilon$$

$$\textstyle \bigl\vert \int\limits_{[a,b]}f\,G - \sum_{\varkappa=1... ...-1})G(x_{\varkappa-1}) \,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}) \bigr\vert < \varepsilon$$

Man kann ohne Einschränkung solche Zerlegungen $Z$ wählen, auf deren offenenen Teilintervallen $f\vert(x_{\varkappa-1},x_\varkappa)$ und $g\vert(x_{\varkappa-1},x_\varkappa)$ konstant sind, anderenfalls füge man die Sprungstellen von $f$ und $g$ als weitere Zerlegungspunkte hinzu.

Da $f$ rechtsseitig und $g$ linksseitig stetig ist, folgt:

$$f(x_{\varkappa-1}) = f(x_{\varkappa-1}^+)$$

$$<tex2html_comment_mark>402 g(x_{\varkappa}) = g(x_{\varkappa}^-),$$

$$F(x_\varkappa) - F(x_{\varkappa-1}) \textstyle = f(x_{\varkappa-1})\,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}),$$

$$\textstyle G(x_\varkappa) - G(x_{\varkappa-1}) \textstyle = g(x_{\varkappa})\,(x_\varkappa-x_{\varkappa-1}).$$

Für eine solche Zerlegung folgt durch partielle Summation:

$$\sum_{\varkappa=1}^k F(x_\varkappa)g(x_\varkappa) \,(x_\varkappa ... ...a-1}) = \sum_{\varkappa=1}^k F(x_\varkappa) (G(x_\varkappa)-G(x_{\varkappa-1}))$$

$$= \sum_{\varkappa=1}^k F(x_\varkappa)G(x_\varkappa) - \sum_{\varkappa=0}^{k-1} F(x_{\varkappa+1})G(x_\varkappa)$$

$$= F(x_k)G(x_k) - F(x_0)G(x_0) + \sum_{\varkappa=0}^{k-1}(F(x_\varkappa)- F(x_{\varkappa+1}))G(x_\varkappa)$$

$$= F\,G\,\bigr\vert _a^b - \sum_{\varkappa=1}^{k}(F(x_\varkappa)- F(x_{\varkappa-1}))G(x_{\varkappa-1})$$

$$= F\,G\,\bigr\vert _a^b - \sum_{\varkappa=1}^{k} f(x_{\varkappa-1}) G(x_{\varkappa-1}) \;(x_\varkappa-x_{\varkappa-1})$$

Also ist         $\int\limits_{[a,b]} F\,g = F\,G\,\bigr\vert _a^b - \int\limits_{[a,b]} f\,G$.

Beispiele 3.1.35 (Integral der Potenzfunktion $x^n$)  

Wir berechnen induktiv die Stammfunktionen zu den Potenzen $x^n$:

$$\int_0^x \xi^n\,d\xi = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$   für $n\in\mathbb{N}_0$.$$$$

Beweis .

     $$\int_0^x 1\,d\xi = x$$.$$

     $$\int_0^x \xi^{n+1}\cdot 1\,d\xi = \xi^{n+1}\cdot \xi\bigr\vert _0 ^x -\int_0^x (n+1)\xi^n\cdot \xi\,d\xi$$.

Daraus folgt

$$(n+2) \int_0^x \xi^{n+1}\,d\xi = x^{n+2}$$.$$$$

Bezeichnung. Eine Funktion $F$ heißt unbestimmtes Integral einer Funktion $f$, wenn für alle $x_0$, $x_1$ im Definitionsbereich von $F$ und $f$ gilt:

$$\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,dx = F(x_1) -F(x_0)$$

Solche unbestimmten Integrale sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Man schreibt abkürzend

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$.$$$$

Es gilt also für ein unbestimmtes Integral $F$ von $f$:

$$F(x) = F(x_0) + \int_{x_0}^x f(\xi)\,d(\xi)$$.$$$$

Offensichtlich gilt die Formel der partiellen Integration für alle unbestimmten Integrale $F$ von $f$ und $G$ von $g$:

$$\textstyle \int\limits_{[a,b]} F\,g + \int\limits_{[a,b]} f\,G = F\,G\,\bigr\vert _a^b$$

Beispiel.

$$\int x^{-n}\,dx = \frac{1}{-n+1}\,x^{-n+1}$$   für $n=2,3\dots$.$$$$

Beweis .

Vgl. Bsp. (3.)      $$\int_1^x \frac{1}{x^2}\,d\xi = 1-\frac{1}{x}$$.$$

    

$$\displaystyle \int_1^x \xi^{-(n+1)}\,d\xi = \int_1^x \xi^{-n+1} \xi^{-2}\,d\xi$$

$$= -\xi^{-n+1}\cdot \xi^{-1}\bigr\vert _1 ^x - \int_1^x (n-1)\xi^{-n}\cdot \xi^{-1}\,d\xi$$

Daraus folgt

$$-n \int_0^x \xi^{-(n+1)}\,d\xi = 1-x^{n+2}$$.$$$$

Beispiele 3.1.36   $\int_1^x \log \xi\,d\xi = x \log x -x$.

$$\int_1^x \log \xi\cdot1 \,d\xi = \log(\xi)\,\xi\bigr\vert _1^x -\int_1^x \frac{1}{\xi}\cdot \xi \,d\xi = x\log x -(x-1)$$   .$$$$