Bemerkung. Die Formel der partiellen Integration gilt für beliebige, fest gewählte Stammfunktionen von und von (vgl. Definition ).
Bemerkung.
Nach Bemerkung kann man die Treppenfunktionen und in den Sprungstellen abändern, ohne die Stammfunktionen und die Werte der Integrale
Wir können für den Beweis also ohne Einschränkung annehmen, daß rechtsseitig und linksseitig stetig ist.
Beweis . Es sei eine Treppenfunktion mit Stammfunktion und eine Treppenfunktion mit Stammfunktion .
Nach der Vorbemerkung können wir ohne Einschränkung annehmen, daß rechtsseitig und linksseitig stetig ist.
Die Integrale und approximiert man durch Riemannscher Summen zu Zerlegungen
Man kann die Zerlegungspunkte zugleich als Stützpunkte wählen.
Zu gibt es eine , so daß aus stets folgt:
Man kann ohne Einschränkung solche Zerlegungen wählen, auf deren offenenen Teilintervallen und konstant sind, anderenfalls füge man die Sprungstellen von und als weitere Zerlegungspunkte hinzu.
Da rechtsseitig und linksseitig stetig ist, folgt:
Wir berechnen induktiv die Stammfunktionen zu den Potenzen :
Beweis .
Daraus folgt
Bezeichnung. Eine Funktion heißt unbestimmtes Integral einer Funktion , wenn für alle , im Definitionsbereich von und gilt:
Beispiel.
. |
Daraus folgt