Mittewertsatz der Integralrechnung

Feststellung 3.1.41   Es seien $f$, $g\in\mathcal{R}([a,b])$ und $g\geqslant=0$. Mit den Größen

$$m:=\inf\limits_{x\in[a,b]} f(x)$$,$$\qquad M :=\sup\limits_{x\in[a,b]} f(x)$$$$$$

gilt

$$\textstyle m \int\limits_{[a,b]}\! g \leqslant \int\limits_{[a,b]}\! fg \leqslant M \int\limits_{[a,b]}\! g$$   .$$$$

Bemerkung. Aus dem Zwischenwertsatz folgt nun:

Satz 3.1.42 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)  

Es seien $f [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ stetig, $g\in\mathcal{R}([a,b])$ und $g\geqslant0$. Dann gibt es eine $x_0 \in [a,b]$, so daß

$$\textstyle f(x_0) \int\limits_{[a,b]}\! g = \int\limits_{[a,b]}\! fg$$

Bezeichnung. Für $f$, $g\in\mathcal{R}(I)$ und feste $x_0$,$x_1\in I$ bilde man die iterierten Stammfunktionen:

$$f^{(-1)}= F \textstyle : x\mapsto \int_{x_0}^x f(\xi)\,d\xi$$

$$f^{(-n-1)} \textstyle : x\mapsto \int_{x_0}^x f^{(-n)}(\xi)\,d\xi n\in \mathbb{N}$$

$$g^{(-1)}= G \textstyle : x\mapsto \int_{x_1}^x g(\xi)\,d\xi$$

$$g^{(-n-1)} \textstyle : x\mapsto \int_{x_1}^x g^{(-n)}(\xi)\,d\xi n\in \mathbb{N}$$

Feststellung 3.1.43 ($n$-fache partielle Integration)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$, $f$, $g\in\mathcal{R}(I)$. Dann gilt für $a$,$b \in I$ und $n\in \mathbb{N}$:

$$\int_a^b f^{(-n)}(\xi)\,g(\xi)\,d\xi$$

$$= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k f^{(-n+k)}g^{(-k-1)}\Bigr\vert _a^b + (-1)^{n}\int_a^b f(\xi)\,g^{(-n)}(\xi)\,d\xi$$

Beweis . Klar.

Mit $G :=g^{(-1)}$ folgt: $$\int_a^b f^{(-(n+1))}(\xi)\,g(\xi)\,d\xi$$

$$= f^{(-(n+1))}G \Bigr\vert _a^b - \int_a^b f^{(-n)}(\xi)\,G(\xi)\,d\xi$$

$$= f^{(-(n+1))}G\Bigr\vert _a^b - \biggl[\, \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k f^{(-n+k)}G^{(-k-1)}\Bigr\vert _a^b$$

$$\strut\qquad + (-1)^{n}\int_a^b f(\xi)\,G^{(-n)}(\xi)\,d\xi \biggr]$$

$$= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k f^{(-(n+1)+k)}g^{(-k-1)}\Bigr\vert _a^b$$

$$\strut\qquad + (-1)^{(n+1)}\int_a^b f(\xi)\,g^{(-(n+1))}(\xi)\,d\xi$$

Bemerkung. Formuliert man die folgende Feststellung mit Ableitungen statt mit Stammfunktionen, so heißt dies Resultat Taylorformel mit Restglied und ist einer der wichtigsten Sätze der Analysis:

Feststellung 3.1.44 ($n$-te Stammfunktion)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall, $f\in\mathcal{R}(I)$ und $a\in I$. Für eine $n$-ten Stammfunktion $f^{(-n)}$ von $f$ und $x \in I$ gilt:

$$f^{(-n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}f^{(-n+k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!} + \int_a^x f(\xi)\frac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \,d\xi$$   .$$$$

Ist $f$ stetig, so gibt es ein $\xi_0$ zwischen $a$ und $x$, so daß

$$f^{(-n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}f^{(-n+k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!} + f(\xi_0)\frac{(x-\xi)^{n}}{n!}$$   .$$$$

(vgl. Mittelwertsatz der Integralrechnung )

Beweis . Setzt man in Feststellung $g = 1$ und $x_1=b$ so erhält man die Stammfunktionen

$$g^{(-n)}(\xi) :=(-1)^n\frac{(b-\xi)^n}{n!}$$.$$$$

Also folgt

$$f^{(-n)}(b) - f^{(-n)}(a) = \int_a^b f^{(-n+1)}(\xi)\cdot 1 \,d\xi\qquad$$

$$= - \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^{k}f^{(-n+1+k)}(a) \cdot (-1)^{k+1} \frac{(b-a)^{k+1}}{(k+1)!}$$

$$\quad+ (-1)^{n-1} \int_a^b f(\xi) \cdot (-1)^{n-1}\frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \,d\xi$$

Verschiebt man den Summationsindex, so folgt

$$f^{(-n)}(b) = \sum_{k=0}^{n-1}f^{(-n+k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!} + \int_a^b f(\xi)\frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \,d\xi$$   .$$$$

Beispiele 3.1.45 (Logarithmus-Reihe)  

Für $0< x$ gilt

$$\log x = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} }{ k } (x-1)^k +\int_1^x (-1)^{n}\xi^{-(n+1)}(x-\xi)^n \,d\xi$$

Für $0<x\leqslant 2$ konvergiert die Folge der Integrale:

$$\lim_{n\to\infty} \int_1^x (-1)^{n}\xi^{-(n+1)}(x-\xi)^n \,d\xi \to 0$$

Man schreibt:

$$\log x = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} }{ k } (x-1)^k$$