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Feststellung 3.1.41
Es seien
,
und
.
Mit den Größen
gilt
.
Bemerkung. Aus dem Zwischenwertsatz
folgt nun:
Satz 3.1.42 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Es seien
stetig,
und
.
Dann gibt es eine
, so daß
Bezeichnung. Für ,
und
feste , bilde man die
iterierten Stammfunktionen:
Beweis . Klar.
-
Mit
folgt:
Bemerkung.
Formuliert man die folgende Feststellung mit Ableitungen statt mit
Stammfunktionen, so heißt dies Resultat
Taylorformel mit Restglied und ist einer der
wichtigsten Sätze der Analysis:
Beweis . Setzt man in Feststellung
und so erhält man die Stammfunktionen
.
Also folgt
Verschiebt man den Summationsindex, so folgt
.
Beispiele 3.1.45 (Logarithmus-Reihe)
Für gilt
Für
konvergiert die Folge der Integrale:
Man schreibt:
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09