next up previous contents
Nächste Seite: Transformation des Integranden Aufwärts: Integral von Regelfunktionen (Entwurf Vorherige Seite: Integral der Umkehrfunktion   Inhalt

Mittewertsatz der Integralrechnung

Feststellung 3.1.41   Es seien $ f$, $ g\in\mathcal{R}([a,b]) $ und $ g\geqslant=0 $. Mit den Größen

$\displaystyle m:=\inf\limits_{x\in[a,b]} f(x)$,$\displaystyle \qquad
M :=\sup\limits_{x\in[a,b]} f(x)$$\displaystyle $

gilt

$\displaystyle \textstyle
m \int\limits_{[a,b]}\! g
\leqslant \int\limits_{[a,b]}\! fg
\leqslant M \int\limits_{[a,b]}\! g$   .$\displaystyle $

Bemerkung. Aus dem Zwischenwertsatz [*] folgt nun:

Satz 3.1.42 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)  

Es seien $ f [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ stetig, $ g\in\mathcal{R}([a,b]) $ und $ g\geqslant0 $. Dann gibt es eine $ x_0 \in [a,b] $, so daß

$\displaystyle \textstyle
f(x_0) \int\limits_{[a,b]}\! g
= \int\limits_{[a,b]}\! fg
$

Bezeichnung. Für $ f$, $ g\in\mathcal{R}(I) $ und feste $ x_0 $,$ x_1\in I $ bilde man die iterierten Stammfunktionen:

$\displaystyle f^{(-1)}= F$ $\displaystyle \textstyle : x\mapsto \int_{x_0}^x f(\xi)\,d\xi$,    
$\displaystyle f^{(-n-1)}$ $\displaystyle \textstyle : x\mapsto \int_{x_0}^x f^{(-n)}(\xi)\,d\xi$   für $ n\in \mathbb{N}$.    
$\displaystyle g^{(-1)}= G$ $\displaystyle \textstyle : x\mapsto \int_{x_1}^x g(\xi)\,d\xi$,    
$\displaystyle g^{(-n-1)}$ $\displaystyle \textstyle : x\mapsto \int_{x_1}^x g^{(-n)}(\xi)\,d\xi$   für $ n\in \mathbb{N}$.    

Feststellung 3.1.43 ($ n$-fache partielle Integration)  

Es seien $ I\subset \mathbb{R}$, $ f$, $ g\in\mathcal{R}(I) $. Dann gilt für $ a$,$ b \in I $ und $ n\in \mathbb{N}$:

$\displaystyle \int_a^b$ $\displaystyle f^{(-n)}(\xi)\,g(\xi)\,d\xi$    
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k f^{(-n+k)}g^{(-k-1)}\Bigr\vert _a^b + (-1)^{n}\int_a^b f(\xi)\,g^{(-n)}(\xi)\,d\xi$   .    

Beweis . \fbox{\( n=1 \):} Klar.

\fbox{\( n\Rightarrow n+1 \):}
Mit $ G :=g^{(-1)} $ folgt: $ \displaystyle \int_a^b f^{(-(n+1))}(\xi)\,g(\xi)\,d\xi $

  $\displaystyle = f^{(-(n+1))}G \Bigr\vert _a^b - \int_a^b f^{(-n)}(\xi)\,G(\xi)\,d\xi$    
  $\displaystyle = f^{(-(n+1))}G\Bigr\vert _a^b - \biggl[\, \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k f^{(-n+k)}G^{(-k-1)}\Bigr\vert _a^b$    
  $\displaystyle \strut\qquad + (-1)^{n}\int_a^b f(\xi)\,G^{(-n)}(\xi)\,d\xi \biggr]$    
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k f^{(-(n+1)+k)}g^{(-k-1)}\Bigr\vert _a^b$    
  $\displaystyle \strut\qquad + (-1)^{(n+1)}\int_a^b f(\xi)\,g^{(-(n+1))}(\xi)\,d\xi$   .    

Bemerkung. Formuliert man die folgende Feststellung mit Ableitungen statt mit Stammfunktionen, so heißt dies Resultat Taylorformel mit Restglied und ist einer der wichtigsten Sätze der Analysis:

Feststellung 3.1.44 ($ n$-te Stammfunktion)  

Es seien $ I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall, $ f\in\mathcal{R}(I) $ und $ a\in I$. Für eine $ n$-ten Stammfunktion $ f^{(-n)} $ von $ f$ und $ x \in I$ gilt:

$\displaystyle f^{(-n)}(x)
= \sum_{k=0}^{n-1}f^{(-n+k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!}
+ \int_a^x f(\xi)\frac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \,d\xi$   .$\displaystyle $

Ist $ f$ stetig, so gibt es ein $ \xi_0 $ zwischen $ a$ und $ x$, so daß

$\displaystyle f^{(-n)}(x)
= \sum_{k=0}^{n-1}f^{(-n+k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!}
+ f(\xi_0)\frac{(x-\xi)^{n}}{n!}$   .$\displaystyle $

(vgl. Mittelwertsatz der Integralrechnung [*])

Beweis . Setzt man in Feststellung [*] $ g = 1 $ und $ x_1=b $ so erhält man die Stammfunktionen

$\displaystyle g^{(-n)}(\xi) :=(-1)^n\frac{(b-\xi)^n}{n!}$.$\displaystyle $

Also folgt

$\displaystyle f^{(-n)}(b) - f^{(-n)}(a) = \int_a^b f^{(-n+1)}(\xi)\cdot 1 \,d\xi\qquad$    
$\displaystyle = - \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^{k}f^{(-n+1+k)}(a) \cdot (-1)^{k+1} \frac{(b-a)^{k+1}}{(k+1)!}$    
$\displaystyle \quad+ (-1)^{n-1} \int_a^b f(\xi) \cdot (-1)^{n-1}\frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \,d\xi$   .    

Verschiebt man den Summationsindex, so folgt

$\displaystyle f^{(-n)}(b)
= \sum_{k=0}^{n-1}f^{(-n+k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}
+ \int_a^b f(\xi)\frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \,d\xi$   .$\displaystyle $

Beispiele 3.1.45 (Logarithmus-Reihe)  

Für $ 0< x $ gilt

$\displaystyle \log x = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} }{ k } (x-1)^k
+\int_1^x (-1)^{n}\xi^{-(n+1)}(x-\xi)^n \,d\xi
$

Für $ 0<x\leqslant 2 $ konvergiert die Folge der Integrale:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
\int_1^x (-1)^{n}\xi^{-(n+1)}(x-\xi)^n \,d\xi \to 0
$

Man schreibt:

$\displaystyle \log x = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} }{ k } (x-1)^k
$


next up previous contents
Nächste Seite: Transformation des Integranden Aufwärts: Integral von Regelfunktionen (Entwurf Vorherige Seite: Integral der Umkehrfunktion   Inhalt
Analysis1-A.Lambert 2001-02-09