Differenzierbare Funktionen auf einem Intervall

Bemerkung. Wir betrachten in diesem Abschnitt Funktionen auf einem Intervall, die in jedem Punkt des Intervalls differenzierbar sind.

Feststellung 3.2.12 (Ableitung eines umbestimmten Integrals)  

Es seien $I$ ein offenes Intervall, $f\in\mathcal{R}(I)$ und $F:I \rightarrow \mathbb{R}$ ein unbestimmtes Integral von $f$, d.h.

$$F(x)-(y) = \int_x^y f(\xi)\,d\xi$$   für alle $x$,$y \in I$.$$$$

Dann ist $F$ in jedem Stetigkeitspunkt $a$ von $f$ differenzierbar und es gilt dort

$$F'(a) = f(a)$$   .$$$$

Beweis (Ableitung einer Stammfunktion).

Da $f$ im Punkt $a\in I$ stetig ist, existiert zu $\varepsilon >0$ ein $\delta>0$, so daß

$$\vert f(\xi)-f(a)\vert <\varepsilon$$   für alle $\xi\in I$, mit $\vert\xi-a\vert<\delta$.$$$$

Folglich gilt für $x\in I \setminus \{a\}$ mit $\vert x-a\vert<\delta$:

$$\Bigl\vert \frac{F(x)-F(a)}{x-a}-f(a) \Bigr\vert = \Bigl\vert \frac{1}{x-a}\int_a^x(f(\xi)-f(a))\,d\xi \Bigr\vert$$

$$< \frac{\varepsilon }{\vert x-a\vert}\vert x-a\vert =\varepsilon$$

D.h. $\ \displaystyle \lim\limits_{x\to a} \frac{F(x)-F(a)}{x-a} =f(a)$.

Beispiele 3.2.13 (Ableitung von $\exp$ und $\log$)  

1.      $(e^x)' = e^x$     für $x \in \mathbb{R}$.
2. Es sei $a>0$. Dann gilt $(a^x)' = \log( a) a^x$ für $x \in \mathbb{R}$.
3.      $$(\log x)' = \frac{1}{x}$$     für $x\in (0,\infty)$.

Beweis . Man schreibe $\exp$ und $\log$ als Stammfunktionen und benutze die Feststellung :

1.      $$e^x = 1+\int_0^x e^\xi\,d\xi$$      für $x \in \mathbb{R}$.
2. Es sei $a>0$. Dann gilt nach der Kettenregel
   $$(a^x)' = \bigl( \exp(\log(a)x) \bigr)' = \log(a)\, \exp(\log(a)x) = \log(a) a^x$$   .$$$$

3.      $$\log x = \int_1^x \frac{1}{\xi}\,d\xi$$     für $x\in (0,\infty)$.

Bemerkung Das folgende Beispiel zeigt, daß unbestimmte Integrale von Regelfunktionen und überall differenzierbare Funktionen verschieden Klassen sind.

Beispiele 3.2.14  

1. $\vert x\vert$ ist Stammfunktion von $2H-1$, $H$ die Heaviside-Funktion (vgl (1.). Aber $\vert x\vert$ ist in $x=0$ nicht differenzierbar.
2. Die Funktion
   $$f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}$$   für $x\not=0$ und $f(0)=0$$$$$
   ist überall differenzierbar, aber die Ableitung
   $$f'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$$   für $x\not=0$ und $f(0)=0$.$$$$
   oszilliert im Nullpunkt (vgl. Wackelfunktion ()) und ist daher keine Regelfunktion.

Bemerkung. Man zeichne ein Bild eines `glatten' Funktionsgraphen mit den unten angegebenen Eigenschaften.

Die Funktion hat ein Maximum oder ein Minimum im Inneren des Intervalls.

In diesem Punkt muß die Tangente waagerecht verlaufen.

Lemma 3.2.15 (Satz von Rolle)  

Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und die Einschränkung $f\vert(a,b)$ sei auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar.

Wenn $f(a) = f(b)$ ist, so gibt es ein $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi) = 0$.

ROLLE, MICHEL (1652-1719)

Bemerkung. Die obige Voraussetzung an eine Funktion $f$ wird uns noch häufig begegnen. Wir sagen kurz:

$f$ ist stetig auf dem Intervall und im Inneren (des Intervalls) differenzierbar.

Beweis (Satz von Rolle).

Fall

$f$ konstant: Man wähle ein $\xi \in (a,b)$.

Fall

$f$ nicht konstant: $f$ hat ein Maximum oder ein Minimum, das nicht auf einem der Randpunkte liegt.

Sei etwa $\xi \in (a,b)$ un $f(\xi)$ ein Minimum. Dann ist

$$\frac{ f(x)-f(\xi) }{ x-\xi }\ \left\{\begin{array}{ll} \leqslant... ... \geqslant 0 &\text{f\uml ur \( x>\xi \), \( x\in [a,b] \),} \end{array}\right.$$

und folglich

$$f(\xi)' = \lim_{x\to\xi}\frac{ f(x)-f(\xi) }{ x-\xi }\ = 0$$.$$$$

Im Falle eines Maximums hat $-f$ ein Minimum und es ist $-f'(\xi)=0$.

Satz 3.2.16 (Mittelwertsatz der Differentialrechn.)  

Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und die Einschränkung $f\vert(a,b)$ sei auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar.

Dann gibt es ein $\xi \in (a,b)$ , so daß

$$f(b)-f(a) = f'(\xi)\,(b-a)$$   .$$$$

ist.

LAGRANGE, JOSEPH, LOUIS (1736-1813)

Bemerkung Geometrisch besagt der Mittelwertsatz, däß die Tangente im Punkte $(a,f(a)$ an den Graphen von $f$ dieselbe Steigung hat, wie die Sekante durch die Punkte $(a,f(a)$ und $(b,f(b)$

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$$   .$$$$

D.h. Tangente und Sekante sind parallel.

Bemerkung. Der Mittelwertsatz gilt nur für reellwertige Funktionen und läßt sich nicht auf vektorwertige Funktionen übertragen.

Häufig benötigt man aber nur eine aus dem Mittelwertsatz folgende Abschätzung, den Schrankensatz. Diese Methode, den Mittelwertsatz zum Abschätzen einzusetzen, läßt sich weitgehend verallgemeinern.

Korollar 3.2.17 (Schrankensatz)  

Es sei $I$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und differenzierbar im Innern von $I$.

Wenn die Ableitung beschränkt ist:

$$\vert f'\vert \leqslant L$$   ,$$$$

dann ist $f$ Lipschitz-stetig mit einer Lipschitz-Konstante $L$:

$$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert \leqslant L\vert x_1-x_2\vert$$   für $x_1$,$x_2\in I$.$$$$

Beweis (Mittelwertsatz).

Der Fall $b=a$ ist trivial. Es sei also $a < b$:

Subtrahiert man die Sekantengleichung von der Funktion $f$, so erhält man eine Funktion $\varphi$, auf die man den Satz von Rolle anwenden kann:

$$\varphi: x\mapsto f(x) - \Bigl(f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) \Bigr)$$.$$$$

Es gibt also ein $\xi \in (a,b)$ mit $\varphi'(\xi)=0$. D.h.

$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ .$$$$

Bemerkung. Aus dem Mittelwertsatz folgt unmittelbar das folgende einfache, aber sehr bedeutsame Korollar:

Korollar 3.2.18 (Charakterisierung konstanter Funkt.)  

Es sei $I$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und differenzierbar im Innern von $I$.

Wenn die Ableitung verschwindet

$$f'(x)=0$$   für alle $x$ im Innern von $I$,$$$$

dann ist $f$ konstant auf $I$.