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Bemerkung.
Die folgenden Fakten ergeben zusammengenommen den Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung:
Bemerkung.
- Der Schluß des Hauptsatzes
erlaubt es , Integrale einer stetigen Funktion
dadurch zu berechnen, daß man zu
eine primitive Funktion mit findet
oder rät (siehe Formelsammlungen).
- In der deutschen Literatur wurde der Begriff primitive
Funktion durch den Begriff Stammfunktion verdrängt.
Im Englischen und Französichen heißt
the primitive of bzw. le primitive de .
- Der wichtigere Schluß des Hauptsatzes
erlaubt es, Funktionen mit vorgegebner stetiger Ableitung
zu konstruieren
Dies ist ein erster Schritt zu Lösung von
Differentialgleichungen.
Umgekehrt nennt man Lösungen von Differentialgleichungen
machmal auch Integrale.
Beweis (Hauptsatz der Diff.- u. Int.-Rechnung).
- Zu
und festem
bilde man die Funktion
Nach Feststellung ist
auf jedem kompakten Teilintervall von
Lipschitz-stetig.
Da der Integrand im Inneren von stetig ist,
ist nach Feststellung
dort differenzierbar mit Ableitung .
Also ist
Nach Korollar ist
konstant.
- Vergleiche Feststellung .
Bemerkung.
Man kann den Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung
auf Regelfunktionen erweitern, wenn man die Differenzierbarkeit
in allen Punkten etwas abschwächt:
(vgl. Koenigsberger Kap. 9.10 und 11.4)
Hauptsatz der Diff.-u. Integralr. für Regelfunktionen.
Es sei ein nichtausgeartetes Intervall.
Für
und
sind äquivalent:
- 1.
- ist stetig und bis auf eine abzählbare Ausnahmemenge
differenzierbar mit Ableitung
- 2.
- ist unbestimmtes Integral von :
Bemerkung.
Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung
und der Kettenregel
ergibt sich unmittelbar die
Substitutionsregel:
Satz 3.2.20 (Substitution)
Es seien und Intervalle. Die Funktionen
seien stetig und
stetig differenzierbar im Innern von
.
Wenn eine Stammfunktion von ist, dann ist
eine Stammfunktion zu
.
D.h. für alle , gilt
Bemerkung. Für die Anwendungen beachte man die
Integralgrenzen
der beiden Integral!
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09