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Hauptsatz der Integral- und Differential-Rechnung

Bemerkung. Die folgenden Fakten ergeben zusammengenommen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Satz 3.2.19 (Hauptsatz der Diff.- u. Int.-Rechnung)  

Es seien $ I $ ein nicht entartetes Intervall und $ f\in\mathcal{R}(I) $ stetig im Inneren von $ I $.

Für eine Funktion $ F:I \rightarrow \mathbb{R}$ sind äquivalent:

1.
$ F $ ist stetig auf $ I $ und differenzierbar im Inneren von $ I $ mit Ableitung $ F' = f $.
2.
$ F $ ist ein unbestimmtes Integral von $ f$:

$\displaystyle \int_a^b f(\xi)\,d\xi = F(x)-F(a)$   für alle $ a$, $ x \in I$.$\displaystyle $

Bemerkung.

  1. Der Schluß \fbox{1\( \Rightarrow \)2} des Hauptsatzes erlaubt es , Integrale einer stetigen Funktion $ f$ dadurch zu berechnen, daß man zu $ f$ eine primitive Funktion $ F $ mit $ F' = f $ findet oder rät (siehe Formelsammlungen).
  2. In der deutschen Literatur wurde der Begriff primitive Funktion durch den Begriff Stammfunktion verdrängt. Im Englischen und Französichen heißt $ F $ the primitive of $ f$ bzw. le primitive de $ f$.
  3. Der wichtigere Schluß \fbox{2\( \Rightarrow \)1} des Hauptsatzes erlaubt es, Funktionen mit vorgegebner stetiger Ableitung $ f$ zu konstruieren

    Dies ist ein erster Schritt zu Lösung von Differentialgleichungen. Umgekehrt nennt man Lösungen von Differentialgleichungen machmal auch Integrale.

Beweis (Hauptsatz der Diff.- u. Int.-Rechnung).

\fbox{1 \(\Rightarrow\)2:}
Zu $ f\in\mathcal{R}(I) $und festem $ a\in I$ bilde man die Funktion

$\displaystyle \Phi: x\mapsto \int_a^x f(\xi)\,d\xi$   für $ x \in I$.$\displaystyle $

Nach Feststellung [*] ist $ \Phi $ auf jedem kompakten Teilintervall von $ I $ Lipschitz-stetig. Da der Integrand $ f$ im Inneren von $ I $ stetig ist, ist $ \Phi $ nach Feststellung [*] dort differenzierbar mit Ableitung $ \Phi'=f $. Also ist

$\displaystyle \Phi'-F' = f-f = 0
$

Nach Korollar [*] ist $ \Phi-F $ konstant.
\fbox{2 \(\Rightarrow\)1:}
Vergleiche Feststellung [*].

Bemerkung. Man kann den Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung auf Regelfunktionen erweitern, wenn man die Differenzierbarkeit in allen Punkten etwas abschwächt: (vgl. Koenigsberger Kap. 9.10 und 11.4)

Hauptsatz der Diff.-u. Integralr. für Regelfunktionen.

Es sei $ I $ ein nichtausgeartetes Intervall. Für $ f\in\mathcal{R}(I) $ und $ F:I \rightarrow \mathbb{R}$ sind äquivalent:

1.
$ F $ ist stetig und bis auf eine abzählbare Ausnahmemenge $ A\subset I $ differenzierbar mit Ableitung

$\displaystyle F'(x) = f(x) ,$   für $ x\in I\setminus A $.$\displaystyle $

2.
$ F $ ist unbestimmtes Integral von $ f$:

$\displaystyle \int_a^b f(\xi)\,d\xi = F(x)-F(a)$   für alle $ a$, $ x \in I$.$\displaystyle $

Bemerkung. Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung [*] und der Kettenregel [*] ergibt sich unmittelbar die Substitutionsregel:

Satz 3.2.20 (Substitution)  

Es seien $ I $ und $ J $ Intervalle. Die Funktionen

$\displaystyle J \stackrel{g}{\rightarrow} I \stackrel{f}{\rightarrow} \mathbb{R}$

seien stetig und $ g $ stetig differenzierbar im Innern von $ I $.

Wenn $ F $ eine Stammfunktion von $ f$ ist, dann ist $ F\circ g $ eine Stammfunktion zu $ (f\circ g) \cdot g' $.

D.h. für alle $ a$, $ b \in I $ gilt

$\displaystyle \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\,dx
$

Bemerkung. Für die Anwendungen beachte man die Integralgrenzen der beiden Integral!


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09