Geometrische Gruppentheorie II im Wintersemester 2022/23

Aktuelles:

Termine: Dienstag, 8:30 - 10:00 (Zeichensaal) und  Donnerstag , 14:00 (c.t.) - 16:00 (SR 10 in Geb. 2.4)

Dozent: Prof. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen

Mitarbeiter: Pascal Kattler

Inhalte:

Die geometrische Gruppentheorie  ist ein noch junges mathematisches Gebiet, das spannende Verbindungen zwischen Gruppentheorie und Geometrie schafft. Ihr Ziel ist es, einerseits Gruppen mit Hilfe geometrischer Räume und andererseits geometrische Räume mit Hilfe ihrer Symmetriegruppen zu studieren. Man verfolgt dabei die beiden folgenden Ansätze:

• Untersuche, wie Gruppen auf einem geeigneten geometrischen Raum operieren.
• Betrachte die Gruppe selbst als geometrischen Raum.

Das Zusammenspiel der beiden Gebiete hat in den letzten fünfzig Jahren zu einer Reihe mathematischer Durchbrüche geführt, darunter Gromov's Programm zur Klassifikation von endlich erzeugten Gruppen, die Klassifikation von Dreimannigfaltigkeiten durch William Thurston, die Lösung des Isomorphie-Problems für hyperbolische Gruppen durch Zlil Sela und den Beweis der Haken-Vermutung durch Ian Agol. Das Gebiet ist eng mit der Informatik verbunden unter anderem über die Theorie für Automaten-Gruppen.

In diesem zweiten Teil des Zyklus Geometrische Gruppentheorie führen wir wichtige Konzepte wie hyperbolische Räume, Invarianten von Quasi-Isometrien wie den Raum der Enden und verschiedene natürliche Ränder für geometrische Räume ein. Weiterhin stehen Beispiele für interessante Räume im Mittelpunkt wie zum Beispiel der Teichmüllerraum T_g mit der Aktion der Abbildungsklassengruppe.  Der Quotient danach ist der berühmte Modulraum M_g für kompakte Riemannsche Flächen von Geschlecht g, der nicht nur in der Geometrischen Gruppentheorie sondern auch in der  Algebraischen Geometrie eine wichtige Rolle spielt. 

Die Vorlesung ist eine Vertiefungsvorlesung, die Grundkenntnisse in Algebra und Geometrie voraussetzt, wie sie z.B. aus der Vorlesung Geometrische Gruppentheorie I oder der Algebraischen Topologie her kommen können.

Inhalte:

• Grob-Geometrie: Invarianten wie Gromov-Hyperbolizität und Raum der Enden
• Hyperbolische Gruppen
• Zentrale Beispiele wie zum Beispiel die Abbildungsklassengruppe und Teichmüllerraum
• Randkonsruktionen für geometrische Räume

Voraussetzungen:

Geometrische Gruppentheorie I oder Algebraische Topologie (empfohlen).


Literatur:

• Clara Löh: Geometric Group Theory: An Introduction, Springer-Verlag 2017